Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Matrizes

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Enunciado

Questão extra: Seja A uma matriz m × n e seja b → ∈ R m . Assinale a única afirmação que NÃO necessariamente é verdadeira.

  1. Se A T A x → = A T b → então A x → é a projeção ortogonal de b → sobre a I m A .
  2. Se A T A x → = A T b → , então b → - A x → ∈ I m A ⊥
  3. A T A x → = A T b → tem solução única.
  4. Se A é invertível, a única solução de A T A x → = A T b → é x → = A - 1 b → .

Passo 1

Belezoca de motoca galerinha, queremos saber qual das alternativas nem sempre é verdadeira, ou pros mais íntimos, a alternativa falsa. Saca só, na letra (a) ele diz que se A T A x → = A T b → então A x → é a projeção ortogonal de b → sobre a I m A . Mas calma lá, porque sabemos podemos primeiro passar tudo para o mesmo lado:

0 → = A T b → - A T A x →

E se a gente isolar o A T vamos ter que:

A T b → - A x → = 0 →

Como o vetor b → - A x → leva A T no 0 → quer dizer que ele pertence ao núcleo de A T tal que:

b → - A x → ∈ N u c A T

E através da identidade fundamental N u c A T = I m A ⊥ , tiramos que:

b → - A x → ∈ I m A ⊥

E a malandragem aqui é que nossa identidade das projeções diz que a projeção no complemento ortogonal, somada a projeção no espaço, é igual ao próprio vetor, isto é:

P r o j I m A b → + P r o j I m A ⊥ b → = b →

Mas projetar no complemento ortogonal da imagem, é a mesma coisa que projetar no vetor b → - A x → ∈ I m A ⊥ , logo podemos substituir na identidade e obter o seguinte:

P r o j I m A b → + b → - A x → = b →

P r o j I m A b → - A x → = b → - b →

P r o j I m A b → = A x →

Portanto, realmente A x → é a projeção ortogonal do vetor b → sobre a imagem de A . Afirmativa verdadeira.

Passo 2

Na letra (b), ele diz que se A T A x → = A T b → , então b → - A x → ∈ I m A ⊥ e acabamos de ver no comecinho do Passo 1, que isso de fato é verdade, independente da matriz A . Bora pra letra (c) então, ela diz que A T A x → = A T b → tem solução única. E aqui a gente pode parir do seguinte lema:

Se   A   é injetiva, então   A A T   também é injetiva

Mas se caso A não for injetiva, então A A T também não vai ser injetiva. Logo quando ele diz que o sistema A T A x → = A T b → possui solução única, ele tá dizendo que A T e A T A são simultaneamente injetivas. Só que isso uma afirmação um tanto quanto audaciosa, já que bastaria apenas que A T não fosse injetiva para que A T A também não seja e assim o sistema não teria solução. Portanto nossa afirmativa falsa é a digníssima letra (c).

Resposta

Letra (c)