Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Matrizes

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Enunciado

Considere as seguintes afirmações:

I Seja A m × n uma matriz. Então a soma da dimensão da imagem de A com a dimensão do núcleo da transposta de A é igual a n .

I I Se A m × n é uma matriz cujas colunas formam um conjunto ortogonal, então A T A é uma matriz quadrada diagonal.

( a ) A alternativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

( b ) A alternativa I é verdadeira e I I é falsa.

( c ) A alternativa I é falsa e I I é falsa.

( d ) A alternativa I é falsa e I I é verdadeira.

Passo 1

Afirmativa I :

Primeira coisa que temos que ver é onde habitam a imagem de A e o núcleo da transposta de A . Como A é m × n , I m A ∈ R m e N u c A T ∈ R m . Além disso, temos aquela relação que nos diz:

I m A = N u c A T ⊥

Um é o complemento ortogonal do outro! E como já sabemos, a soma de complementos ortogonais é direta! Logo, a soma da dimensão de I m A com a do N u c A T é igual a m . Essa é falsa então.

Afirmativa I I :

Vamos definir um conjunto ortogonal de vetores:

v 1 , v 2 , … , v n

A matriz A é dada por:

↑   ↑ v 1 ⋯ v n ↓   ↓

E A T :

← v 1 →   ⋮   ← v n →

Se fizermos A T A , teremos:

← v 1 →   ⋮   ← v n → ↑   ↑ v 1 ⋯ v n ↓   ↓ = 〈 v 1 , v 1 〉 〈 v 2 , v 1 〉 ⋯ 〈 v n - 1 , v 1 〉 〈 v n , v 1 〉 〈 v 1 , v 2 〉 v 2 , v 2 ⋯ 〈 v n - 1 , v 2 〉 〈 v n , v 2 〉 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 〈 v 1 , v n - 1 〉 〈 v 2 , v n - 1 〉 ⋯ 〈 v n - 1 , v n - 1 〉 〈 v n , v n - 1 〉 〈 v 1 , v n 〉 〈 v 2 , v n 〉 ⋯ 〈 v n - 1 , v n 〉 〈 v n , v n 〉

E como eles são todos ortogonais,

  A T A = 〈 v 1 , v 1 〉 0 ⋯ 0 0 0 v 2 , v 2 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 〈 v n - 1 , v n - 1 〉 0 0 0 ⋯ 0 〈 v n , v n 〉

Que, de fato, é uma matriz quadrada diagonal. Verdadeira.

Resposta

Letra ( d )