Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Matrizes

Ver Teoria

Enunciado

Seja A = 1 1 1 - 1 0 - 2 1 2 0 . Indique a alternativa VERDADEIRA

a   O complemento ortogonal ao espaço gerado pelas colunas de A é - 2 x , x , x , x ∈ R

b   O complemento ortogonal ao núcleo de A é - 2 x , x , x , x ∈ R

c O complemento ortogonal ao núcleo de A T é - 2 x , x , x , x ∈ R

d   O complemento ortogonal ao espaço gerado pelas linhas de A é - 2 x , x , x , x ∈ R

Passo 1

Vamos traduzir algumas coisas:

Espaço gerado pelas colunas de A = Imagem de A

Espaço gerado pelas linhas de A = Imagem de A T

Agora se a gente lembrar aquela história de:

N u c A = I m A T ⊥   e   I m A T = N u c A ⊥

N u c A T = I m A ⊥   e   I m A = N u c A T ⊥

Podemos traduzir as alternativas para:

a N u c A T = - 2 x , x , x , x ∈ R

b I m A T = - 2 x , x , x , x ∈ R

c I m A = - 2 x , x , x , x ∈ R

d N u c A = - 2 x , x , x , x ∈ R

Agora é só descobrirmos qual desses aí está certo haha!

Passo 2

Bom todas as letras falam da mesma reta né? A reta dada pelo vetor - 2 , 1,1 !

Também dá pra ver que a dimensão gerada pelas colunas de A é maior que 1 né? O mesmo vale pras linhas de A ! Então essa reta não pode ser a imagem nem de A nem de A T .

Vamos então multiplicar ele por A e A T pra ver se é o núcleo de alguma:

A - 2,1 , 1 = 1 1 1 - 1 0 - 2 1 2 0 - 2 1 1 = 0 0 0

Pronto, deu certo! - 2,1 , 1 está no núcleo de A , então a d é a correta :p

Se tivesse dado errado você testava para a A T .

Resposta

Letra ( d )