Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Matrizes

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Enunciado

Seja V o subespaço do R 3 gerado pelos vetores 1 , 2,1 e 0,3 , 2 . Queremos escrever V como um núcleo de uma matriz, isto é, procura-se uma matriz B tal que V = N B . Se definirmos

A = 1 0 2 3 1 2

então B pode ser construída:

a Computando uma base do núcleo de A e colocando os vetores desta base nas colunas de B .

b Computando uma base do núcleo de A e colocando os vetores desta base nas linhas de B .

c Computando uma base do núcleo de A T e colocando os vetores desta base nas colunas de B .

d Computando uma base do núcleo de A T e colocando os vetores desta base nas linhas de B .

Passo 1

Temos transpostas e núcleos na mesma questão então é quase certo que vamos precisar disso:

N u c A = I m A T ⊥   e   I m A T = N u c A ⊥

N u c A T = I m A ⊥   e   I m A = N u c A T ⊥

Ta, queremos que N u c B = V . Pela nossa relação aí de cima temos que V = I m B T ⊥ . Ou ainda:

I m B T = V ⊥

Tá, a imagem da nossa B T tem que ser o complemento ortogonal de V . Guardem isso em um cantinho e vamos trabalhar com a matriz A agora.

Passo 2

Ele te dá a seguinte matriz:

A = 1 0 2 3 1 2

Percebe que os vetores geradores de V estão nas colunas da matriz? Isso quer dizer que a imagem de A (espaço gerado pelas colunas) é o próprio V :

I m A = V

Se aplicarmos novamente aquelas relações vamos ter que V = N u c A T ⊥ . Jogando o para o outro lado:

N u c A T = V ⊥

Opa, então o núcleo de A T é o complemento ortogonal de V . Beleza, vamos juntar as informações que temos!

Passo 3

Temos que:

I m B T = V ⊥

N u c A T = V ⊥

Logo,

I m B T = N u c A T

Mas as opções só falam de B e não de B T ! Bom a imagem de B T é o espaço gerado pelas colunas de B T certo? Que é exatamente os espaço gerado pelas linhas de B ! Então:

N u c A T = e s p a ç o   l i n h a   d e   B

Ou seja, se pegarmos uma base para o núcleo de A T e jogarmos nas linhas de B , teremos o que o exercício quer!! Logo a certa é a d .

Complicado né? Se não entendeu muito bem, dá uma segunda lida aí haha.

Resposta

Letra ( d )