Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Matrizes

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Enunciado

Suponha que a matriz A é 3 × 3 e que sua imagem é gerada pelo vetor ( 1 ,   1 ,   1 ) .

Assinale a afirmativa VERDADEIRA:

a   O núcleo de A é o conjunto de soluções de x + y + z = 0

b   O núcleo de A T é gerado pelo vetor ( - 1 ,   - 1 ,   - 1 )

c   O núcleo de A T é o conjunto de soluções de x + y + z = 0

d   A imagem de A T é o conjunto de soluções de x + y + z = 0

Passo 1

Você lembra daquela relação super importante que você não podia esquecer de nenhum jeito? Essa aqui oh:

N u c A T = I m A ⊥

Opa, o núcleo de A T é o complemento ortogonal da imagem de A e nos foi dada a imagem de A . Então para acharmos o núcleo de A T basta encontrarmos o complemento ortogonal do espaço gerado pelo vetor 1 , 1,1 .

O complemento ortogonal de um vetor no R 3 já é bem manjado né? Haha. É só pegarmos as coordenadas dos vetores e jogarmos na equação do plano:

1,1 , 1

x + y + z = 0

Então o núcleo de A T é o conjunto de soluções de x + y + z = 0 .

Resposta

Letra ( c )