Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Matrizes

UFRJ-2013.2

Suponha que a matriz A é 3 × 3 e que sua imagem é gerada pelo vetor ( 1 ,   1 ,   1 ) .

Assinale a afirmativa VERDADEIRA:

a   O núcleo de A é o conjunto de soluções de x + y + z = 0

b   O núcleo de A T é gerado pelo vetor ( - 1 ,   - 1 ,   - 1 )

c   O núcleo de A T é o conjunto de soluções de x + y + z = 0

d   A imagem de A T é o conjunto de soluções de x + y + z = 0

Passo 1

Opa apareceu imagem, espaço gerado e transpostas nas opções. Já sabem né? Como podemos relacionar a imagem de uma matriz com sua transposta?

I m A = N u c ( A T )  

O núcleo de A T é o complemento ortogonal da imagem de A . Bom, vamos acha-lo então!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que

I m A = 1,1 , 1

Logo, o complemento ortogonal da imagem de A é dado por:

1 1 1 0

Ou seja, N u c A T é o conjunto solução da equalão a abaixo:

x + y + z = 0

Opa, só um minuto. Dá uma olhada lá na letra c ! Isso mesmo, não precisamos nem calcular qual o conjunto solução. Resposta é a letra c !

Resposta

Letra c

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