Exercícios Resolvidos de Condução de Calor Multidimensional

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Enunciado

Considere que a placa retangular bidimensional abaixo possua uma condutividade térmica de 50   W / ( m . K ) .

Partindo da solução exata para a distribuição de temperaturas, deduza uma expressão para a taxa de transferência de calor, por unidade de espessura, saindo pela superfície inferior 0 ≤ x ≤ 2 ,   y = 0 da placa.

Calcule a taxa de transferência de calor considerando os cinco primeiros termos não-nulos da série infinita.

Passo 1

Sabendo que o fluxo térmico muda ao longo de x , e que o calor está sendo transferido para fora da placa, o mesmo pode ser calculado da seguinte forma:

q ' = - ∫ 0 2 d q y ' x , 0 = - ∫ 0 2 - k ∂ T ∂ y y = 0 d x

Utilizando a relação entre T e θ , temos que:

θ = T - T 1 T 2 - T 1 → T = T 1 + θ . T 2 - T 1

∂ T ∂ y = ∂ θ ∂ y . T 2 - T 1

Assim:

q ' = k . T 2 - T 1 ∫ 0 2 ∂ θ ∂ y y = 0   d x

Show de bola! Já sabemos do que precisamos pra chegar à expressão da taxa de transferência de calor.

Passo 2

Sabemos que θ é dado por:

θ = 2 π ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 + 1 n . sen ⁡ n π x L . senh ⁡ n π y / L senh ⁡ n π W / L

Pra derivar em relação a y , precisamos lembrar que a derivada do c o s h é o s e n h dessa função. Aí, aplicando a regra da cadeia ali naquele c o s h :

∂ θ ∂ y = 2 π ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 + 1 n . sen ⁡ n π x L . n π / L . cosh ⁡ n π y / L senh ⁡ n π W / L

Igualando y a 0:

∂ θ ∂ y y = 0 = 2 π ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 + 1 n . n π / L senh ⁡ n π W / L . sen ⁡ n π x L

Agora podemos seguir com a brincadeira.

Passo 3

Substituindo na expressão da taxa de transferência de calor:

q ' = k . T 2 - T 1 ∫ 0 2 ∂ θ ∂ y y = 0   d x

q ' = k . T 2 - T 1 ∫ 0 2 2 π ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 + 1 n . n π / L senh ⁡ n π W / L . sen ⁡ n π x L   d x

Agora é ir arrumando a bagunça:

q ' = k . T 2 - T 1 . 2 π . ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 + 1 n . n π / L senh ⁡ n π W / L . ∫ 0 2 sen ⁡ n π x L   d x

q ' = k . T 2 - T 1 . 2 π . ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 + 1 n . n π L senh ⁡ n π W L . - 1 n π L cos ⁡ n π x L 0 2

q ' = k . T 2 - T 1 . 2 π . ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 + 1 n . 1 senh ⁡ n π W L . - cos ⁡ 2 n π L + 1

Onde L = 2   m e W = 1   m . Assim:

q ' = k . T 2 - T 1 . 2 π . ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 + 1 n . 1 senh ⁡ n π 2 . 1 - cos ⁡ n π

Passo 4

Ok! Queremos trabalhar com os 5 primeiros termos da série, mas repare que, para qualquer valor par de n , a série será nula. Assim, vamos considerar os seguintes valores:

n = 1 ,   3 ,   5 ,   7 ,   9

Calculando o somatório para cada um dos valores de n :

n 1 → - 1 1 + 1 + 1 1 . 1 senh ⁡ π 2 . 1 - cos ⁡ π = 1,738

n 3 → - 1 3 + 1 + 1 3 . 1 senh ⁡ 3 π 2 . 1 - cos ⁡ 3 π = 0,024

n 5 → - 1 5 + 1 + 1 5 . 1 senh ⁡ 5 π 2 . 1 - cos ⁡ 5 π = 0,00062

n 7 → - 1 7 + 1 + 1 7 . 1 senh ⁡ 7 π 2 . 1 - cos ⁡ 7 π = 0

n 9 → - 1 9 + 1 + 1 9 . 1 senh ⁡ 9 π 2 . 1 - cos ⁡ 9 π = 0

Logo:

q ' = 50 . 150 - 50 . 2 π . ∑ n = 1 9 - 1 n + 1 + 1 n . 1 senh ⁡ n π 2 . 1 - cos ⁡ n π

q ' = 3183 . 1,738 + 0,024 + 0,00062 + 0 + 0

q ' = 5611 W m

Resposta

q ' = 5,611   k W / m

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