Exercícios Resolvidos de Condução de Calor Multidimensional

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Enunciado

Uma placa retangular bidimensional está sujeita às condições de contorno especificadas.

Usando os resultados da solução exata para a equação do calor apresentados na teoria, calcule a temperatura no ponto central 1 ;   0,5 , utilizando os cinco primeiros termos não-nulos da série infinita que deve ser determinada.

Passo 1

A distribuição de temperatura é dada por:

θ x , y = T - T 1 T 2 - T 1 = 2 π ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 + 1 n . sen ⁡ n π x L . senh ⁡ n π y / L senh ⁡ n π W / L

Onde L = 2   m e W = 1   m . Como estamos considerando o ponto x = 1 e y = 0,5 , vamos começar substituindo os valores pra ver se conseguimos simplificar a equação:

θ 1 ; 0,5 = T - T 1 T 2 - T 1 = 2 π ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 + 1 n . sen ⁡ n π 2 . senh ⁡ n π / 4 senh ⁡ n π / 2

Passo 2

Para qualquer valor par de n , o termo - 1 n + 1 + 1 será nulo. Dessa forma, como estamos preocupados em pegar os 5 primeiros termos da série, vamos utilizar os seguintes valores de n :

n = 1 ,   3 ,   5 ,   7 ,   9

Assim, pegando os 5 primeiros termos da série, teremos:

θ 1 ; 0,5 = 2 π 2 . sen ⁡ π 2 . senh ⁡ π / 4 senh ⁡ π / 2 + 2 3 . sen ⁡ 3 π 2 . senh ⁡ 3 π / 4 senh ⁡ 3 π / 2 + 2 5 . sen ⁡ 5 π 2 . senh ⁡ 5 π / 4 senh ⁡ 5 π / 2 + 2 7 . sen ⁡ 7 π 2 . senh ⁡ 7 π / 4 senh ⁡ 7 π / 2 + 2 9 . sen ⁡ 9 π 2 . senh ⁡ 9 π / 4 senh ⁡ 9 π / 2

Jogando isso tudo na calculadora, teremos:

θ 1 ; 0,5 = 2 π . 0,755 - 0,063 + 0,008 - 0,001 + 0

θ 1 ; 0,5 = 0,445

Passo 3

A temperatura central será:

θ 1 ; 0,5 = T 1 ; 0,5 - T 1 T 2 - T 1

T 1 ; 0,5 = T 1 + θ 1 ; 0,5 . T 2 - T 1

Substituindo os valores:

T 1 ; 0,5 = 50 + 0,445 × 150 - 50

Resposta

T 1 ; 0,5 = 94,5 ° C

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