Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação

Unicamp, P3 – Geometria Analítica, 21/06/2013 (manhã), pág. 1, Questão 1

Seja Equation o lugar geométrica dos pontos Equation do plano cujas coordenadas Equation e Equation satisfazem

Equation

  1. Identificar a cônica Equation
  2. Encontrar as mudanças consecutivas das coordenadas que levam Equation à forma canônica
  3. Encontrar a excentricidade de Equation . Encontrar também as coordenadas dos focos e dos vértices, e as equações das assíntotas no sistema Equation (se aplicável). Fazer um esboço do gráfico de Equation .

Passo 1

Até agora estávamos esboçando as cônicas!! Nisso já estamos craques!! Hehe... Mas, vamos começar a complicar um pouco mais. Além de fazer tudo o que já fazíamos vamos começar a encontrar não só as cônicas, mas também seus parâmetros.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a) Nesse primeiro item devemos identificar a cônica, ou seja, fazer o que já vínhamos fazendo!

Como vimos na teoria, devemos começar montando a equação matricial da equação dada. Para isso, vamos primeiro retirar os valores das contantes Equation e Equation .

Da equação temos:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Vamos então colocar esses valores na equação matricial:

Equation

Nossa equação ficará:

Equation

Agora que temos nossa equação matricial conseguimos achar nossa matriz Equation , que é:

Equation

Próximo passo é calcular os autovalores e autovetores dessa matriz!!

Bora calcular os autovalores da matriz Equation .

Sempre usando a relação

Equation

Equation

Equation

Resolvendo o determinante:

Equation

Equation

Equation

Equation

Temos os autovalores:

Equation

Já temos os autovalores!! Agora, é encontrarmos os autovetores para cada autovalor.

Para Equation , vamos supor que o autovetor é Equation e devemos respeitar que:

Equation

Equation

Equation

Escolhendo uma das linhas, escolherei a primeira, mas sem um motivo especial:

Equation

Poderíamos ter escolhido a segunda linha, o resultado final é o mesmo!!

Então, sabendo a relação e chutando Equation , temos Equation . Assim, nosso autovetor é:

Equation

Mas, ele não é unitário. Falta dividirmos por sua norma que é Equation .

Então Equation untário é:

Equation

Agora, vamos calcular o autovetor Equation para Equation

Equation

Equation

Equation

Escolhendo uma das linhas, escolherei a primeira, mas sem um motivo especial:

Equation

Então, sabendo a relação e chutando Equation , temos Equation . Assim, nosso autovetor é:

Equation

Mas, ele não é unitário. Falta dividirmos por sua norma que é Equation

Então Equation untário é:

Equation

Agora que temos os autovalores e os autovetores podemos montar as matrizes Equation e Equation .

Montando Equation :

Equation

Como Equation foi montada de forma que a primeira linha é o autovalor Equation , então a primeira coluna da matriz Equation deve ser o autovetor relacionado ao autovalor Equation , ou seja, Equation .

Equation

Já temos tudo o que precisamos para montar nossa expressão matricial final:

CUIDADO: na expressão acima quando temos [D E], o Equation se refere ao valor que encontramos lá no início do exercício e não a matriz Equation .

Montando com nossos valores teremos:

Equation

Equation

Equation

Equation

Fazendo a distributiva, temos:

Equation

Equation

Completando quadrados:

Equation

Equation

Equation

Dividindo tudo por Equation :

Equation

Multiplicando tudo por Equation

Equation

Chegamos na forma quase canônica da hipérbole. Para ficarmos na forma canônica faremos mais uma mudança de variável, considerando:

Equation

Equation

Teremos então:

Equation

Agora sim temos a expressão canônica da hipérbole. Esse item terminamos.

Passo 3

b) Agora precisamos determinar as mudanças consecutivas de coordenadas que fizemos para chegar na expressão canônica da hipérbole.

Bom, primeiro, mudamos das coordenadas Equation para Equation . A relação entre esses dois sistemas é dado por:

Então, substituindo nossa matriz Equation , temos:

Equation

Teremos, então as relações:

Equation

Equation

Além dessa transformação fizemos uma translação do sistema Equation para Equation . No qual temos as relações:

Equation

Equation

Pronto!! São essas relações que o enunciado pede. Bora para o próximo item!!

Passo 4

c) Encontrar a excentricidade de Equation . Encontrar também as coordenadas dos focos e dos vértices, e as equações das assíntotas no sistema Equation (se aplicável). Fazer um esboço do gráfico de Equation .

Esse item já fizemos várias vezes quando falamos de cônicas!! O que muda agora, é que antes tínhamos no máximo uma translação, ou seja, uma mudança de variáveis, e agora, temos duas mudanças. Mas, isso não altera a forma de resolução. Ou seja, vamos achar todas as variáveis no sistema em que a curva está no sistema canônico Equation e depois por meio das relações que achamos no item anterior passamos para o sistema Equation .

Então, considerando a equação:

Equation

Estamos no CASO 1 da hipérbole. Assim, sabemos que:

Olhando para nossa expressão e as relações acima, temos:

Equation

Usando a relação Equation

Equation

Lebrando que todos os parâmetros que encontraremos estarão no sistema Equation .

Teremos:

Equation

Equation

Encontramos tudo o que percisávamos no sistema Equation , agora vamos passar para o sistema Equation e depois para o sistema Equation . Para a primeira mudança, usaremos:

Equation

Equation

Usando as relações acima obteremos os parâmetros em Equation :

Equation

Equation

Equation

A excentricidade não muda, pois só depende de Equation e Equation .

Para chegarmos na nossa solução vamos passar do Equation para Equation , usando:

Equation

Equation

Fazendo as contas, teremos:

Equation

Equation

Para passar as assíntotas para Equation teremos que primeiro isolar nas nossas relações acima Equation e Equation . Isolando teremos:

Equation

Equation

Substituindo:

Equation

Estamos quase terminando, falta o esboço, que fica mais ou menos:

Ufa!! Cansei!! Esse tipo de exercício requer muita atenção por causa das contas que são muito fáceis de errar. Então, faça com calma e para pegar agilidade nada como fazer vários exercícios!

Resposta

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

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