Exercícios Resolvidos de Conservação de Massa do Volume de Controle

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Enunciado

Uma piscina furada de base circular com 3   m de diâmetro está se enchendo de água por meio de três mangueiras. Por uma mangueira passa uma vazão volumétrica de 0,007   m 3 / s , pelas outras duas passa uma vazão volumétrica de 0,004   m 3 / s . A altura do nível da água sobe com uma velocidade constante de 0,001   m / s . Considerando que a água possui 0,001   m 3 / k g , determine a vazão mássica de saída da água. Suponha que a água vaza por dois furos com a mesma vazão mássica.

Passo 1

Enunciado pede para a gente calcular a vazão mássica de água que sai por um dos furos m ˙ s . Para resolver esse exercício precisamos usar a fórmula de conservação de massa.

d m V . C . d t = ∑ m ˙ e - ∑ m ˙ s

onde:

  • ∑ m ˙ e é o somatório da quantidade de massa que entra no volume de controle por segundo. Sua unidade no S.I. é o quilograma por segundo k g / s ;
  • ∑ m ˙ s é o somatório da quantidade de massa que sai no volume de controle por segundo. Sua unidade no S.I. é o quilograma por segundo k g / s .

A figura abaixo mostra todas as informações que o enunciado nos dá para a gente conseguir fazer as contas que precisamos. Além disso ele mostra a incógnita do problema m ˙ s .

V ˙ e 1 , V ˙ e 2 e V ˙ e 3 presentes na figura são as vazões volumétricas da água passando pelas mangueiras 1 , 2 e 3 . m ˙ e 1 e m ˙ e 2 são as vazões mássicas de água que saem pelos dois furos 1 e 2 . v é o volume específico da água. d h d t é a velocidade com a qual o nível da água sobe.

Ou seja, temos apenas as vazões volumétricas V ˙ , mas precisamos das vazões mássicas m ˙ s .

No próximo passo aprenderemos a calcular as vazões mássicas m ˙ a partir das vazões volumétricas V ˙ e do volume específico v . Além disso, vamos aprender a calcular d m V . C . d t a partir de d h d t .

Passo 2

Para converter vazão volumétrica V ˙ e vazão mássica m ˙ , é só multiplicar as vazões volumétricas por ρ !

m ˙ e 1 = ρ ⋅ V ˙ e 1

m ˙ e 2 = ρ ⋅ V ˙ e 2

m ˙ e 3 = ρ ⋅ V ˙ e 3

O ρ da água pode ser calculado a partir do volume específico v !

ρ = 1 v

O somatório das vazões mássicas de entrada ∑ m ˙ e é a soma dessas três vazões mássicas.

∑ m ˙ e = m ˙ e 1 + m ˙ e 2 + m ˙ e 3

As vazões mássicas de saída de água são iguais. Isso significa que o somatório das vazões de saída ∑ m ˙ s é igual ao dobro da vazão de um único furo m ˙ s 1 .

∑ m ˙ s = 2 ⋅ m ˙ s 1

O volume de água na piscina V V . C . é igual à altura da piscina multiplicada pela área de sua base. A taxa de variação do volume d V V . C . d t da piscina é igual à taxa de variação da altura da piscina multiplicada pela área de sua base.

d V V . C . d t = d h d t ⋅ π ⋅ D 2 4

Todos esses dados estão presentes na figura.

Para converter d V V . C . d t para d m V . C . d t , multiplicamos d V V . C . d t pelo ρ da água.

d m V . C . d t = ρ ⋅ d V V . C . d t

Com todas essas informações podemos criar uma fórmula para as vazões de saída.

d m V . C . d t = ∑ m ˙ e - ∑ m ˙ s

ρ ⋅ d V V . C . d t = ρ ⋅ V ˙ e 1 + ρ ⋅ V ˙ e 2 + ρ ⋅ V ˙ e 3 - 2 ⋅ m ˙ s 1       ⟹       m ˙ s 1 = ρ ⋅ V ˙ e 1 + V ˙ e 2 + V ˙ e 3 - d V V . C . d t 2

Sabendo de tudo isso, vamos calcular as vazões de saída da água!

Passo 3

Primeiro vamos encontrar ρ !

ρ = 1 v       ⟹       ρ = 1 0,0 01       ⟹       ρ = 100 0   k g m 3

Em segundo lugar, calculamos a taxa de variação de volume de água da piscina d V V . C . d t .

d V V . C . d t = d h d t ⋅ π ⋅ D 2 4       ⟹       d V V . C . d t = 0,001 ⋅ π ⋅ 3 2 4       ⟹       d V V . C . d t = 0 , 007   m 3 s

Agora podemos calcular a vazão mássica de saída da água por um único furo através da fórmula que criamos.

m ˙ s 1 = ρ ⋅ V ˙ e 1 + V ˙ e 2 + V ˙ e 3 - d V V . C . d t 2

m ˙ s 1 = 1000 ⋅ 0,007 + 0,004 + 0,004 - 0 , 007 2

m ˙ s 1 = 4   k g s

m ˙ s 2 = m ˙ s 1 = 4   k g s

Resposta

m ˙ s 2 = m ˙ s 1 = 4   k g s

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