Exercícios Resolvidos de Conservação de Massa do Volume de Controle

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Enunciado

Uma substância escoa nos tubos indicados na figura abaixo. Um tanque com vapor está conectado a esses tubos através de três ramificações, cada uma com uma válvula. Abrem-se as válvulas e o tanque esvazia através das ramificações 1 e 2 ao mesmo tempo em que enche através da ramificação 3 . O vapor sai pela ramificação 1 com uma velocidade média de 3 m / s e passa pela ramificação 2 com velocidade média de 2   m / s . Por outro lado, o vapor entra no tanque pela ramificação 3 com uma velocidade média de 3   m / s . Sabendo que a área da seção reta da ramificação 1 vale 0,05   m 2 , da ramificação 2 vale 0,03   m 2 e da ramificação 3 vale 0,04   m 2 , calcule a taxa de variação da massa do tanque. Considere que o volume específico dessa substância meça 0,05   m 3 / k g .

Passo 1

O exercício pede para a gente calcular a taxa de de variação da massa do tanque d m V . C . d t . Isso significa que precisamos calcular a quantidade de massa que sai do tanque por segundo. Fazemos isso através da fórmula abaixo. Ela mostra que o acúmulo de massa dentro do tanque é igual à quantidade de massa que entra ∑ m ˙ e menos a quantidade de passa que sai do tanque ∑ m ˙ s .

d m V . C . d t = ∑ m ˙ e - ∑ m s ˙

onde:

  • ∑ m ˙ e é o somatório da quantidade de massa que entra no volume de controle por segundo. Sua unidade no S.I. é o quilograma por segundo k g / s ;
  • ∑ m ˙ s é o somatório da quantidade de massa que sai no volume de controle por segundo. Sua unidade no S.I. é o quilograma por segundo k g / s .

A figura abaixo mostra todas as informações que o enunciado nos dá para a gente conseguir fazer as contas que precisamos. Além disso ele mostra a incógnita do problema d m V . C . d t .

ν 1 , ν 2 e ν 3 presentes na figura são as velocidades do vapor passando pelas ramificações 1 , 2 e 3 . v é o volume específico da substância. A 1 , A 2 e A 3 são as áreas das seções transversais das ramificações 1 , 2 e 3 . v é o volume específico da substância.

Ou seja, temos apenas as velocidades e as áreas das seções transversais, mas precisamos das vazões mássicas m ˙ . No próximo passo aprenderemos a calcular as vazões mássicas m ˙ a partir das velocidades ν , das áreas A e do volume específico v .

Passo 2

A primeira etapa para calcular m ˙ através dos dados que nós temos é calcular as vazões volumétricas V ˙ de vapor que passam por cada ramificação. Todas as vazões volumétricas são iguais à velocidade média do vapor ν multiplicada pela área da seção transversal da ramificação A .

V ˙ 1 = ν 1 ⋅ A 1

V ˙ 2 = ν 2 ⋅ A 2

V ˙ 3 = ν 3 ⋅ A 3

A segunda etapa é converter vazão volumétrica V ˙ e vazão mássica m ˙ . Para isso é só multiplicar as vazões volumétricas por ρ !

m ˙ 1 = ρ ⋅ V ˙ 1

m ˙ 2 = ρ ⋅ V ˙ 2

m ˙ 3 = ρ ⋅ V ˙ 3

O ρ da substância pode ser calculado a partir do volume específico v !

ρ = 1 v

O somatório das vazões mássicas de saída ∑ m ˙ s é a soma de duas vazões mássicas.

∑ m ˙ s = m ˙ 1 + m ˙ 2

O somatório das vazões mássicas de entrada ∑ m ˙ e é a vazão mássica da ramificação 3 .

∑ m ˙ e = m ˙ 3

Agora vamos para o cálculo final de d m V . C . d t .

Passo 3

Primeiro vamos encontrar ρ !

ρ = 1 v       ⟹       ρ = 1 0,05       ⟹       ρ = 20   k g m 3

Em segundo lugar, achamos as vazões volumétricas V ˙ 1 , V ˙ 2 e V ˙ 3 !

V ˙ 1 = ν 1 ⋅ A 1       ⟹       V ˙ 1 = 3 ⋅ 0,05       ⟹       V ˙ 1 = 0,15   m / s

V ˙ 2 = ν 2 ⋅ A 2       ⟹       V ˙ 2 = 2 ⋅ 0,03       ⟹       V ˙ 2 = 0,06   m / s

V ˙ 3 = ν 3 ⋅ A 3       ⟹       V ˙ 3 = 3 ⋅ 0,04       ⟹       V ˙ 3 = 0,12   m / s

Em terceiro lugar, convertemos as vazões volumétricas V ˙ para vazões mássicas m ˙ .

m ˙ 1 = ρ ⋅ V ˙ 1       ⟹       m ˙ 1 = 20 ⋅ 0,15       ⟹       m ˙ 1 = 3,0   k g s

m ˙ 2 = ρ ⋅ V ˙ 2       ⟹       m ˙ 2 = 20 ⋅ 0,06       ⟹       m ˙ 2 = 1,2   k g s

m ˙ 3 = ρ ⋅ V ˙ 3       ⟹       m ˙ 3 = 20 ⋅ 0,12       ⟹       m ˙ 3 = 2,4   k g s

Com isso, dá pra calcular o somatório das vazões de saída ∑ m ˙ s e o somatório das vazões de entrada ∑ m ˙ e .

∑ m ˙ s = m ˙ 1 + m ˙ 2       ⟹       ∑ m ˙ s = 3,0 + 1,2       ⟹       ∑ m ˙ s = 4,2   k g s

∑ m ˙ e = m ˙ 3       ⟹       ∑ m ˙ e = 2,4   k g s

Substituindo esses valores na fórmula de d m V . C . d t , encontramos que:

d m V . C . d t = ∑ m ˙ e - ∑ m s ˙       ⟹       d m V . C . d t = 2,4 - 4,2       ⟹       d m V . C . d t = - 1,8   k g s

Resposta

d m V . C . d t = - 1,8   k g s

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