Exercícios Resolvidos de Conservação de Massa do Volume de Controle

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Enunciado

Uma substância escoa nos tubos indicados na figura abaixo. Um tanque está conectado a esses tubos através de duas ramificações, cada uma com uma válvula. Abrem-se as válvulas e a substância enche o tanque com uma vazão volumétrica constante de 0,05   m 3 / s em cada ramificação. Qual é a taxa de variação da massa do tanque? Considere que a massa específica dessa substância meça 10   k g / m 3 .

Passo 1

O exercício pede para a gente calcular a taxa de de variação da massa do tanque d m V . C . d t . Isso significa que precisamos calcular a quantidade de massa que entra no tanque por segundo. Fazemos isso através da fórmula abaixo. Ela mostra que o acúmulo de massa dentro do tanque é igual à quantidade de massa que entra ∑ m ˙ e menos a quantidade de passa que sai do tanque ∑ m ˙ s .

d m V . C . d t = ∑ m ˙ e - ∑ m s ˙

onde:

  • ∑ m ˙ e é o somatório da quantidade de massa que entra no volume de controle por segundo. Sua unidade no S.I. é o quilograma por segundo k g / s ;
  • ∑ m ˙ s é o somatório da quantidade de massa que sai no volume de controle por segundo. Sua unidade no S.I. é o quilograma por segundo k g / s .

A figura abaixo mostra todas as informações que o enunciado nos dá para a gente conseguir fazer as contas que precisamos. Além disso ele mostra a incógnita do problema d m V . C . d t .

V ˙ e 1 e V ˙ e 2 presentes na figura são as vazões volumétricas da substância passando pelos tubos 1 e 2 . ρ é a massa específica da substância.

Ou seja, temos apenas as vazões volumétricas V ˙ , mas precisamos das vazões mássicas m ˙ .

No próximo passo aprenderemos a calcular as vazões mássicas m ˙ a partir das vazões volumétricas V ˙ .

Passo 2

Para converter vazão volumétrica V ˙ e vazão mássica m ˙ , é só multiplicar as vazões volumétricas por ρ !

m ˙ e 1 = ρ ⋅ V ˙ e 1

m ˙ e 2 = ρ ⋅ V ˙ e 2

O somatório das vazões mássicas de entrada ∑ m ˙ e é a soma dessas duas vazões mássicas.

∑ m ˙ e = m ˙ e 1 + m ˙ e 2

Nesse exercício, ∑ m s ˙ vale zero, porque não tem nenhuma massa saindo do tanque. Tem apenas massa entrando!

Agora vamos para o cálculo final de d m V . C . d t .

Passo 3

Primeiro vamos encontrar as vazões mássicas m ˙ e 1 e m ˙ e 2 !

m ˙ e 1 = ρ ⋅ V ˙ e 1       ⟹       m ˙ e 1 = 10 ⋅ 0,05       ⟹       m ˙ e 1 = 0,5   k g s

m ˙ e 2 = ρ ⋅ V ˙ e 2       ⟹       m ˙ e 2 = 10 ⋅ 0,05       ⟹       m ˙ e 2 = 0,5   k g s

Com isso, dá pra calcular o somatório das vazões de entrada ∑ m ˙ e .

∑ m ˙ e = m ˙ e 1 + m ˙ e 2       ⟹       ∑ m ˙ e = 0,5 + 0,5       ⟹       ∑ m ˙ e = 1   k g s

Substituindo esses valores na fórmula de d m V . C . d t , encontramos que:

d m V . C . d t = ∑ m ˙ e - ∑ m s ˙       ⟹       d m V . C . d t = 1 - 0       ⟹       d m V . C . d t = 1   k g s

Resposta

d m V . C . d t = 1   k g s

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