Exercícios Resolvidos de Conservação de Massa do Volume de Controle

Ver Teoria

Enunciado

Uma substância escoa nos tubos indicados na figura abaixo. Um tanque com ar está conectado a esses tubos através de quatro ramificações com seções transversais circulares. Cada ramificação possui uma válvula. Abrem-se as válvulas e o tanque esvazia através das ramificação 1 e 3 ao mesmo tempo em que enche através da ramificação 2 e 4 . O ar sai pela ramificação 1 com uma velocidade média de 1   m / s e entra pela ramificação 2 com velocidade média de 3   m / s . Além disso, o ar sai do tanque pela ramificação 3 com uma velocidade média de 4   m / s e entra no tanque pela ramificação 4 com velocidade média de 2   m / s . Considere que a pressão do ar em todas as ramificações é igual a 200   k P a . As temperaturas do ar nas ramificações 1 , 2 , 3 e 4   valem 300   K , 320   K , 295   K e 350   K respectivamente. Sabendo que os diâmetros das ramificações 1 , 2 , 3 e 4 valem 0,06   m , 0,08   m , 0,10   m e 0,07   m respectivamente, calcule a taxa de variação da massa de ar no tanque.

Passo 1

O exercício pede para a gente calcular a taxa de de variação da massa do tanque d m V . C . d t . Isso significa que precisamos calcular a quantidade de massa que sai do tanque por segundo. Fazemos isso através da fórmula abaixo. Ela mostra que o acúmulo de massa dentro do tanque é igual à quantidade de massa que entra ∑ m ˙ e menos a quantidade de passa que sai do tanque ∑ m ˙ s .

d m V . C . d t = ∑ m ˙ e - ∑ m s ˙

onde:

  • ∑ m ˙ e é o somatório da quantidade de massa que entra no volume de controle por segundo. Sua unidade no S.I. é o quilograma por segundo k g / s ;
  • ∑ m ˙ s é o somatório da quantidade de massa que sai no volume de controle por segundo. Sua unidade no S.I. é o quilograma por segundo k g / s .

A figura abaixo mostra todas as informações que o enunciado nos dá para a gente conseguir fazer as contas que precisamos.

ν 1 , ν 2 , ν 3 e ν 4 presentes na figura são as velocidades do ar passando pelas ramificações 1 , 2 , 3 e 4 . D 1 , D 2 , D 3 e D 4 são os diâmetros das ramificações 1 , 2 , 3 e 4 . T 1 , T 2 , T 3 e T 4 são as temperaturas do ar que passa pelas ramificações 1 , 2 , 3 e 4 . P 1 , P 2 , P 3 e P 4 são as pressões do ar que passa pelas ramificações 1 , 2 , 3 e 4 .

Ou seja, conhecemos as velocidades, os diâmetros, as temperaturas e as pressões do ar, mas precisamos calcular a taxa de variação da massa de ar no tanque d m V . C . d t . Para isso, vamos aprender a calcular as vazões mássicas m ˙ a partir das velocidades ν , dos diâmetros D e do volume específico v . Portanto, precisamos primeiro saber calcular o volume específico do ar, usando a equação de gás perfeito.

Passo 2

Para calcular o volume específico do ar, precisamos reorganizar a fórmula de gás perfeito aplicada ao ar.

P 1 ⋅ v 1 = R a r ⋅ T 1       ⟹       v 1 = R a r ⋅ T 1 P 1

P 2 ⋅ v 2 = R a r ⋅ T 2       ⟹       v 2 = R a r ⋅ T 2 P 2

P 3 ⋅ v 3 = R a r ⋅ T 3       ⟹       v 3 = R a r ⋅ T 3 P 3

P 4 ⋅ v 4 = R a r ⋅ T 4       ⟹       v 4 = R a r ⋅ T 4 P 4

R a r é a constante do ar. Ela vale 0,2870   k J / k g ⋅ K . v 1 , v 2 , v 3 e v 4 são os volumes específicos do ar que passa pelas ramificações 1 , 2 , 3 e 4 .

Agora precisamos que descobrir como se calcula as vazões mássicas com as informações que temos.

Passo 3

A primeira etapa para calcular m ˙ através dos dados que nós temos é converter o valor de volume específico do ar v em massa específica do vapor ρ .

ρ 1 = 1 v 1

ρ 2 = 1 v 2

ρ 3 = 1 v 3

ρ 4 = 1 v 4

A segunda etapa é calcular as vazões volumétricas V ˙ de ar que passam por cada ramificação. Todas as vazões volumétricas são iguais à velocidade média do vapor ν multiplicada pela área da seção transversal da ramificação A .

V ˙ 1 = ν 1 ⋅ A 1       ⟹       V ˙ 1 = ν 1 ⋅ π ⋅ D 1 2 4

V ˙ 2 = ν 2 ⋅ A 2       ⟹       V ˙ 2 = ν 2 ⋅ π ⋅ D 2 2 4

V ˙ 3 = ν 3 ⋅ A 3       ⟹       V ˙ 3 = ν 3 ⋅ π ⋅ D 3 2 4

V ˙ 4 = ν 4 ⋅ A 4       ⟹       V ˙ 4 = ν 4 ⋅ π ⋅ D 4 2 4

A terceira etapa é converter vazão volumétrica V ˙ e vazão mássica m ˙ . Para isso é só multiplicar as vazões volumétricas por ρ !

m ˙ 1 = ρ 1 ⋅ V ˙ 1       ⟹     1 v 1 ⋅ ν 1 ⋅ π ⋅ D 1 2 4

m ˙ 2 = ρ 2 ⋅ V ˙ 2       ⟹       1 v 2 ⋅ ν 2 ⋅ π ⋅ D 2 2 4

m ˙ 3 = ρ 3 ⋅ V ˙ 3       ⟹       1 v 3 ⋅ ν 3 ⋅ π ⋅ D 3 2 4

m ˙ 4 = ρ 4 ⋅ V ˙ 4       ⟹       1 v 4 ⋅ ν 4 ⋅ π ⋅ D 4 2 4

O somatório das vazões mássicas de saída ∑ m ˙ s é a soma das vazões mássicas das ramificações 1 e 3 .

∑ m ˙ s = m ˙ 1 + m ˙ 3       ⟹       ∑ m ˙ s = 1 v 1 ⋅ ν 1 ⋅ π ⋅ D 1 2 4 + 1 v 3 ⋅ ν 3 ⋅ π ⋅ D 3 2 4

O somatório das vazões mássicas de entrada ∑ m ˙ e é a soma das vazões mássicas das ramificações 2 e 4 .

∑ m ˙ e = m ˙ 2 + m ˙ 4       ⟹       ∑ m ˙ e = 1 v 2 ⋅ ν 2 ⋅ π ⋅ D 2 2 4 + 1 v 4 ⋅ ν 4 ⋅ π ⋅ D 4 2 4

Sabendo disso, podemos calcualr d m V . C . d t pela fórmula de conservação de massa.

d m V . C . d t = ∑ m ˙ e - ∑ m s ˙

Passo 4

Iniciamos as contas pelo cálculo dos volumes específicos v .

v 1 = R a r ⋅ T 1 P 1       ⟹       v 1 = 0,2870 ⋅ 300 200       ⟹       v 1 = 0,431   m 3 k g

v 2 = R a r ⋅ T 2 P 2       ⟹       v 2 = 0,2870 ⋅ 320 200       ⟹       v 2 = 0,459   m 3 k g

v 3 = R a r ⋅ T 3 P 3       ⟹       v 3 = 0,2870 ⋅ 295 200       ⟹       v 3 = 0,423   m 3 k g

v 4 = R a r ⋅ T 4 P 4       ⟹       v 4 = 0,2870 ⋅ 350 200       ⟹       v 4 = 0,502   m 3 k g

Agora sim podemos calcular d m V . C . d t .

Passo 5

Primeiro, calculamos ∑ m s ˙ .

∑ m ˙ s = 1 v 1 ⋅ ν 1 ⋅ π ⋅ D 1 2 4 + 1 v 3 ⋅ ν 3 ⋅ π ⋅ D 3 2 4

∑ m ˙ s = 1 0,431 ⋅ 1 ⋅ π ⋅ 0,06 2 4 + 1 0,423 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 0,10 2 4

∑ m ˙ s = 0,044   k g s

Depois, achamos ∑ m e ˙ .

∑ m ˙ e = 1 v 2 ⋅ ν 2 ⋅ π ⋅ D 2 2 4 + 1 v 4 ⋅ ν 4 ⋅ π ⋅ D 4 2 4

∑ m ˙ e = 1 0,459 ⋅ 3 ⋅ π ⋅ 0,08 2 4 + 1 0,502 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 0,07 2 4

∑ m ˙ e = 0,048   k g s

Por fim, encontramos d m V . C . d t .

d m V . C . d t = ∑ m ˙ e - ∑ m s ˙

d m V . C . d t = 0,048 - 0,044

d m V . C . d t = 0,004   k g s

Resposta

d m V . C . d t = 0,004   k g s

Exercícios de Livros Relacionados

2- A não uniformidade da temperatura promove a transferência de calor. Existe um conceito similar para a vazão em massa?
22- Ar a 35° C e 105k P a escoa numa tubulação retangular com dimensões iguais a 100 e 150m m . Sabendo que a vazão é igual a 0.015m 3 / s , calcule a velocidade média deste escoamento.
Um aquecedor de ar doméstico (veja a F i g .P 6.27 ) é alimentado com 0,25m 3 / s de ar a 100k P a e 17° C . O ar é descarregado do aquecedor a 52° C e 110k P a . Sabendo que o ar é descarregado atrav
Uma banheira que, inicialmente, estava vazia e com o ralo tampado está sendo alimentada com 10 quilogramas de água por minuto. Após 10 minutos do início da operação de enchimento, a tampa do ralo foi
O rotor de um ventilador doméstico (Fig. P 6.29 ) apresenta diâmetro igual a 0.75m . A temperatura e a pressão no plano de alimentação do rotor são iguais a 22° Ce98k P a . A temperatura, pressão e ve