Exercícios Resolvidos de Conservação de Massa do Volume de Controle

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Enunciado

Uma substância escoa nos tubos indicados na figura abaixo. Um tanque cheio de vapor está conectado a esses tubos através de duas ramificações, cada uma com uma válvula. Abrem-se as válvulas e o tanque esvazia com vazões volumétricas constantes de 0,03   m 3 / s pelo tubo 1 e 0,04   m 3 / s pelo tubo 2 . Qual é a taxa de variação da massa do tanque? Considere que o volume específico dessa substância meça 0,02   m 3 / k g .

Passo 1

O exercício pede para a gente calcular a taxa de de variação da massa do tanque d m V . C . d t . Isso significa que precisamos calcular a quantidade de massa que sai do tanque por segundo. Fazemos isso através da fórmula abaixo. Ela mostra que o acúmulo de massa dentro do tanque é igual à quantidade de massa que entra ∑ m ˙ e menos a quantidade de passa que sai do tanque ∑ m ˙ s . Como só existe massa saindo, o acúmulo de massa será negativo!

d m V . C . d t = ∑ m ˙ e - ∑ m s ˙

onde:

  • ∑ m ˙ e é o somatório da quantidade de massa que entra no volume de controle por segundo. Sua unidade no S.I. é o quilograma por segundo k g / s ;
  • ∑ m ˙ s é o somatório da quantidade de massa que sai no volume de controle por segundo. Sua unidade no S.I. é o quilograma por segundo k g / s .

A figura abaixo mostra todas as informações que o enunciado nos dá para a gente conseguir fazer as contas que precisamos. Além disso ele mostra a incógnita do problema d m V . C . d t .

V ˙ e 1 e V ˙ e 2 presentes na figura são as vazões volumétricas da substância passando pelos tubos 1 e 2 . v é o volume específico da substância.

Ou seja, temos apenas as vazões volumétricas V ˙ , mas precisamos das vazões mássicas m ˙ .

No próximo passo aprenderemos a calcular as vazões mássicas m ˙ a partir das vazões volumétricas V ˙ e do volume específico v .

Passo 2

Para converter vazão volumétrica V ˙ e vazão mássica m ˙ , é só multiplicar as vazões volumétricas por ρ !

m ˙ s 1 = ρ ⋅ V ˙ s 1

m ˙ s 2 = ρ ⋅ V ˙ s 2

O ρ da substância pode ser calculado a partir do volume específico v !

ρ = 1 v

O somatório das vazões mássicas de saída ∑ m ˙ s é a soma dessas duas vazões mássicas.

∑ m ˙ s = m ˙ s 1 + m ˙ s 2

Nesse exercício, ∑ m e ˙ vale zero, porque não tem nenhuma massa entrando no tanque. Tem apenas massa saindo!

Agora vamos para o cálculo final de d m V . C . d t .

Passo 3

Primeiro vamos encontrar ρ !

ρ = 1 v       ⟹       ρ = 1 0,02       ⟹       ρ = 50   k g m 3

Em segundo lugar, achamos as vazões mássicas m ˙ s 1 e m ˙ s 2 !

m ˙ s 1 = ρ ⋅ V ˙ s 1       ⟹       m ˙ s 1 = 50 ⋅ 0,03       ⟹       m ˙ s 1 = 1,5   k g s

m ˙ s 2 = ρ ⋅ V ˙ s 2       ⟹       m ˙ s 2 = 50 ⋅ 0,04       ⟹       m ˙ s 2 = 2   k g s

Com isso, dá pra calcular o somatório das vazões de saída ∑ m ˙ s .

∑ m ˙ s = m ˙ s 1 + m ˙ s 2       ⟹       ∑ m ˙ s = 1,5 + 2       ⟹       ∑ m ˙ s = 3,5   k g s

Substituindo esses valores na fórmula de d m V . C . d t , encontramos que:

d m V . C . d t = ∑ m ˙ e - ∑ m s ˙       ⟹       d m V . C . d t = 0 - 3,5       ⟹       d m V . C . d t = - 3,5   k g s

Resposta

d m V . C . d t = - 3,5   k g s

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