Exercícios Resolvidos de Conservação de Massa do Volume de Controle

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Enunciado

Uma substância escoa nos tubos indicados na figura abaixo. Um tanque com vapor está conectado a esses tubos através de três ramificações com seções transversais circulares. Cada ramificação possui uma válvula. Abrem-se as válvulas e o tanque esvazia através da ramificação 1 ao mesmo tempo em que enche através da ramificação 2 e 3 . O vapor sai pela ramificação 1 com uma velocidade média de 2   m / s e entra pela ramificação 2 com velocidade média de 1   m / s . Além disso, o vapor entra no tanque pela ramificação 3 com uma velocidade média de 4   m / s . O tanque enche a uma taxa de 1   k g / s . Sabendo que o diâmetro da ramificação 1 vale 0,07   m , o diâmetro da ramificação 2 vale 0,10   m , calcule o diâmetro da ramificação 3 . Considere que o volume específico do vapor vale 0,04   m 3 / k g .

Passo 1

O exercício pede para a gente calcular o diâmetro da ramificação 3 . Fazemos isso através da fórmula de conservação de massa. Ela mostra que a taxa de variação de massa dentro do tanque d m V . C . d t é igual à quantidade de massa que entra ∑ m ˙ e menos a quantidade de passa que sai do tanque ∑ m ˙ s .

d m V . C . d t = ∑ m ˙ e - ∑ m s ˙

onde:

  • d m V . C . d t é a taxa de de variação da massa do tanque. Sua unidade no S.I. é o quilograma por segundo k g / s ;
  • ∑ m ˙ e é o somatório da quantidade de massa que entra no volume de controle por segundo. Sua unidade no S.I. é o quilograma por segundo k g / s ;
  • ∑ m ˙ s é o somatório da quantidade de massa que sai no volume de controle por segundo. Sua unidade no S.I. é o quilograma por segundo k g / s .

A figura abaixo mostra todas as informações que o enunciado nos dá para a gente conseguir fazer as contas que precisamos. Além disso ele mostra a incógnita do problema D 3 .

ν 1 , ν 2 e ν 3 presentes na figura são as velocidades do vapor passando pelas ramificações 1 , 2 e 3 . v é o volume específico da substância. D 1 , D 2 e D 3 são os diâmetros das ramificações 1 , 2 e 3 .

Ou seja, conhecemos as velocidades e dois diâmetros, mas precisamos calcular o diâmetro que falta D 3 . Para isso, vamos aprender a calcular as vazões mássicas m ˙ a partir das velocidades ν , dos diâmetros D e do volume específico v .

Passo 2

A primeira etapa para calcular m ˙ através dos dados que nós temos é converter o valor de volume específico do vapor que o enunciado fornece v em massa específica do vapor ρ .

ρ = 1 v

A segunda etapa é calcular as vazões volumétricas V ˙ de vapor que passam por cada ramificação. Todas as vazões volumétricas são iguais à velocidade média do vapor ν multiplicada pela área da seção transversal da ramificação A .

V ˙ 1 = ν 1 ⋅ A 1       ⟹       V ˙ 1 = ν 1 ⋅ π ⋅ D 1 2 4

V ˙ 2 = ν 2 ⋅ A 2       ⟹       V ˙ 2 = ν 2 ⋅ π ⋅ D 2 2 4

V ˙ 3 = ν 3 ⋅ A 3       ⟹       V ˙ 3 = ν 3 ⋅ π ⋅ D 3 2 4

A terceira etapa é converter vazão volumétrica V ˙ e vazão mássica m ˙ . Para isso é só multiplicar as vazões volumétricas por ρ !

m ˙ 1 = ρ ⋅ V ˙ 1       ⟹     1 v ⋅ ν 1 ⋅ π ⋅ D 1 2 4

m ˙ 2 = ρ ⋅ V ˙ 2       ⟹       1 v ⋅ ν 2 ⋅ π ⋅ D 2 2 4

m ˙ 3 = ρ ⋅ V ˙ 3       ⟹       1 v ⋅ ν 3 ⋅ π ⋅ D 3 2 4

O somatório das vazões mássicas de saída ∑ m ˙ s é a vazão mássica da ramificação 1 .

∑ m ˙ s = m ˙ 1       ⟹       ∑ m ˙ s = 1 v ⋅ ν 1 ⋅ π ⋅ D 1 2 4

O somatório das vazões mássicas de entrada ∑ m ˙ e é a soma das vazões mássicas das ramificações 2 e 3 .

∑ m ˙ e = m ˙ 2 + m ˙ 3       ⟹       ∑ m ˙ e = 1 v ⋅ ν 2 ⋅ π ⋅ D 2 2 4 + 1 v ⋅ ν 3 ⋅ π ⋅ D 3 2 4

Sabendo disso, podemos criar uma fórmula para D 3 a partir de equação de conservação de massa.

d m V . C . d t = ∑ m ˙ e - ∑ m s ˙

d m V . C . d t = 1 v ⋅ ν 2 ⋅ π ⋅ D 2 2 4 + 1 v ⋅ ν 3 ⋅ π ⋅ D 3 2 4 - 1 v ⋅ ν 1 ⋅ π ⋅ D 1 2 4

D 3 = 4 ⋅ v π ⋅ d m V . C . d t + ν 1 ⋅ D 1 2 - ν 2 ⋅ D 2 2 ν 3

Passo 3

O diâmetro D 3 pode ser calculado diretamente a partir da equação que criamos.

D 3 = 4 ⋅ v π ⋅ d m V . C . d t + ν 1 ⋅ D 1 2 - ν 2 ⋅ D 2 2 ν 3

D 3 = 4 ⋅ 0,04 π ⋅ 1 + 2 ⋅ 0,07 2 - 1 ⋅ 0,10 2 4

D 3 = 0 , 11   m

Resposta

D 3 = 0 , 11   m

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