Exercícios Resolvidos de Coordenadas Polares

Elaboração Própria

Apresentar as equações em coordenadas polares:

  1. Das retas Equation , Equation , Equation e Equation sendo Equation
  2. Da circunferência de centro no pólo e raio Equation
  3. Da circunferência de centro Equation e raio Equation

Passo 1

Neste exercício temos que passar as equações de coordenadas cartesianas para polares. Para isso, vamos utilizar as seguintes relações que vimos na teoria:

Equation

Equation

Equation

Bora colocar a mão na massa!! ;)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a) Nesse item devemos escrever as equações das retas Equation , Equation , Equation e Equation em coordenadas polares. Vamos começar com a reta Equation .

Para Equation vamos substituir a expressão Equation

Equation

Como Equation é uma constante então achamos a expressão da reta em coordenadas polares:

Equation

Agora, para Equation , o procedimento é o mesmo e atente que o que muda para a expressão anterior é o sinal de menos no Equation , então a expressão ficará no lado esquerdo igual e no lado direito com Equation .

Equation

Para Equation , agora, vamos utilizar a expressão Equation . Substituindo, temos:

Equation

E para terminar esse item, para Equation , teremos a expressão acima, mas com o lado direito com Equation .

Equation

Passo 3

b) Devemos escrever em coordenadas polares a expressão da circunferência de centro no pólo e raio Equation .

Centro no pólo é o mesmo que dizer que o centro está na origem, assim, sabemos que Equation . E, pelo enunciado o raio é Equation . Quando vimos cônicas degeneradas e mesmo no colégio vimos que a equação geral de uma circunferência é:

Equation

Sendo, Equation as coordenadas do centro da esfera e Equation o raio. CUIDADO: O Equation na expressão acima representa o raio da esfera e não é o mesmo Equation das coordenadas polares.

Assim, nossa esfera em coordenadas cartesianas fica:

Equation

Para passar para as coordenadas polares vamos utilizar expressão Equation , então teremos:

Equation

Uhulll!! Mais um item pronto!!

Passo 4

c) Para terminar vamos escrever a expressão em coordenadas polares da circunferência de centro Equation e raio Equation .

No item anterior vimos que a expressão geral em coordenadas cartesianas de uma circunferência é:

Equation

Sendo, Equation as coordenadas do centro da esfera e Equation o raio. Substituindo as informações que temos:

Equation

Agora, devemos usar as relações Equation e Equation para achar a equação em coordenadas polares:

Equation

Substituindo as relações temos que:

Equation

Pronto chegamos na nossa expressão, lembrando que Equation e Equation são constantes.

Resposta

Equation , Equation , Equation ,

Equation

Equation Equation

Equation

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