Exercícios Resolvidos de Coordenadas Polares

Unicamp, 2ª Chamada – Geometria Analítica, 20/06/2013 (manhã), pág. 1, Questão 5 – item c.

Verificar se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. (Respostas sem justificativa não serão consideradas)

c) A equação (em coordenadas polares) r = - 4 cos ⁡ θ representa uma parábola.

Passo 1

O exercício faz uma afirmação em relação à expressão r = - 4 cos ⁡ θ que está em coordenadas polares. Ele afirma que a expressão representa uma parábola. Será que isso é verdade?

Para verificar, vamos passar para as coordenadas cartesianas e verificar!! Blz?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como a expressão está escrita em coordenadas polares e queremos passar para as coordenadas cartesianas vamos utilizar as seguintes relações:

x 2 +   y 2 = r 2 → r = x 2 +   y 2   ( 1 )

x = r . cos ⁡ θ → cos ⁡ θ = x x 2 +   y 2   ( 2 )

y = r . sin ⁡ θ → sin ⁡ θ = y x 2 +   y 2   ( 3 )

Substituindo as relações, temos:

r = - 4 cos ⁡ θ →   x 2 +   y 2 = - 4 x x 2 +   y 2  

Escrevendo de um jeito diferente a expressão acima, temos:

x 2 +   y 2 = - 4 x

( x + 2 ) 2 + y 2 = 4

Essa é a expressão de uma circunferência de raio 2 e centro ( - 2 ,   0 ) .

Portanto, a afirmativa é FALSA. A nossa justificativa é o próprio desenvolvimento para achar a expressão!!

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