Exercícios Resolvidos de Coordenadas Polares

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Enunciado

Identifique a cônica dada em coordenadas polares, determine a sua equação em coordenadas cartesianas e faça um esboço do seu gráfico:

i )   r = - 3 cos ⁡ θ

i i )   r = 5 2 - 2 cos ⁡ θ

Passo 1

Vamos lá!! O enunciado nos dá três equações em coordenadas polares e a partir delas devemos identificar qual cônica a expressão representa. Além disso, devemos passar a equação para o sistema cartesiano e fazer um esboço do seu gráfico. Bora, começar então?!

Passo 2

                    i )   r = - 3 cos ⁡ θ

Olhando para a expressão fica meio difícil de dizer qual cônica é, certo?!! Então, vamos passar primeiro para o sistema cartesiano já que o jeitão das cônicas nós vimos em coordenadas cartesianas. Para facilitar nossa vida hehe!!

Já que estamos em coordenadas polares e queremos passar para as coordenadas cartesianas, vamos utilizar as seguintes relações que aprendemos na teoria:

x = r . cos ⁡ θ         ( 1 )

y = r . sin ⁡ θ         ( 2 )

x 2 +   y 2 = r 2 → r = x 2 +   y 2       ( 3 )

Substituindo a expressão ( 3 ) na equação dada pelo enunciado, temos:

r = - 3 cos ⁡ θ →   x 2 +   y 2     = - 3 cos ⁡ θ   ( 4 )

Pela expressão ( 1 ) e rearranjando a mesma, temos:

x r = cos ⁡ θ     ( 5 )

Substituindo ( 5 ) na expressão ( 4 ) :

x 2 +   y 2     = - 3 cos ⁡ θ

x 2 +   y 2     = - 3 x r       ( 6 )

Sabendo da expressão ( 3 ) o valor de r em função de x e y , e substituindo na expressão ( 6 ) :

x 2 +   y 2     = - 3 x r   →   x 2 +   y 2     = - 3 x x 2 +   y 2          

x 2 +   y 2 = - 3 x

Chegamos numa expressão cartesiana agora devemos arrumá-la para que ela fique com o jeitão de alguma das cônicas para que então possamos identificar a cônica:

x 2 +   y 2 = - 3 x →   x 2 +   y 2 + 3 x = 0

Completando quadrado temos:

x + 3 2 2 - 9 4 + y 2 = 0

x + 3 2 2 + y 2 = 9 4

Pela expressão a cônica é um círculo de centro C = - 3 2 , 0 e r = 3 2 . Vimos também, que um círculo nada mais é que uma elipse de excentricidade 0 .

Portanto, fazendo um esboço, temos:

Passo 3

i i )   r = 5 2 - 2 cos ⁡ θ

O passo a passo é o mesmo do item anterior!! Então, vamos achar primeiro a equação em coordenadas cartesianas!!

Substituindo as relações anteriores 1 ,   ( 2 ) e ( 3 ) na equação dada pelo enunciado, teremos:

r = 5 2 - 2 cos ⁡ θ →   x 2 +   y 2   =   5 2 - 2 cos ⁡ θ

Substituindo cos ⁡ θ = x r → cos ⁡ θ = x x 2 +   y 2 , teremos:

x 2 +   y 2   =   5 2 - 2 cos ⁡ θ →   x 2 +   y 2   =   5 2 - 2 x x 2 +   y 2     ( 7 )

Rearranjando a expressão 7 , temos:

x 2 +   y 2   =   5 2 - 2 x x 2 +   y 2

x 2 +   y 2   =   5 x 2 +   y 2 2 x 2 +   y 2 - 2 x

2 ( x 2 +   y 2 ) - 2 x x 2 +   y 2 = 5 x 2 +   y 2

2 ( x 2 +   y 2 ) = ( 5 + 2 x ) x 2 +   y 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

4 x 2 +   y 2 2 = ( 5 + 2 x ) 2 ( x 2 +   y 2 )

x 2 +   y 2 4 ( x 2 +   y 2 ) - 5 + 2 x 2 = 0

x 2 +   y 2 - 25 - 20 x + 4 y 2 = 0

Temos, que x 2 +   y 2 = 0 representa a origem e - 25 - 20 x + 4 y 2 = 0 , essa segunda expressão representa a parábola:

4 y 2 = 25 + 20 x →   y 2 = 25 + 20 x 4

Então, essa expressão representa uma parábola, fazendo o esboço, temos:

Resposta

  1. A cônica é um círculo de centro C = - 3 2 , 0 e r = 3 2 . Vimos também, que um círculo nada mais é que uma elipse de excentricidade 0 .
  2. Uma parábola com equação y 2 = 25 + 20 x 4

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