Exercícios Resolvidos de Coordenadas Polares

Unicamp, P3 – Geometria Analítica, 01/07/2009, Professor Marcelo M. Santos, pág. 1, Questão 1-item a

Identifique a cônica dada em coordenadas polares, determine a sua equação em coordenadas cartesianas e faça um esboço do seu gráfico:

  r = 6 3 + sin ⁡ θ

Passo 1

Vamos lá!! O enunciado nos dá uma equação em coordenada polares e a partir dela devemos identificar qual cônica a expressão representa. Além disso, devemos passar a equação para o sistema cartesiano e fazer um esboço do seu gráfico. Bora, começar então?!

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Passo 2

                              r = 6 3 + sin ⁡ θ

Bora lá!

Usando as relações,

1   r = x 2 + y 2

2   x = r . cos ⁡ θ

3   y = r . sin ⁡ θ

Vamos encontrar a equação cartesiana da expressão dada em coordenadas polares:

r = 6 3 + sin ⁡ θ →   x 2 +   y 2 = 6 3 + sin ⁡ θ   ( 4 )

Da expressão ( 3 ) , temos que y = r sin ⁡ θ , que podemos escrever:

sin ⁡ θ = y x 2 +   y 2   ( 5 )

Substituindo ( 5 ) em ( 4 ) , temos:

x 2 +   y 2 = 6 3 + y x 2 +   y 2

Reescrevendo, temos:

x 2 +   y 2   =   6 3 + y x 2 +   y 2

x 2 +   y 2   =   6 x 2 +   y 2 3 x 2 +   y 2 + y

Como os dois lados da equação estão multiplicados por x 2 +   y 2 , podemos cortá-los! Assim,

1   =   6 3 x 2 +   y 2 + y

3 x 2 +   y 2 + y = 6

x 2 +   y 2 = 6 - y 3

Elevando os dois lados ao quadrado, temos:

x 2 +   y 2 = 36 - 12 y + y 2 9

9 x 2 +   9 y 2 = 36 - 12 y + y 2

9 x 2 + 8 y 2 + 12 y = 36

Para chegar na equação final da cônica, vamos completar quadrados!

9 x 2 + 8 y + 3 2 y = 36

9 x 2 + 8 y + 3 4 2 = 36 + 9 2

9 x 2 + 8 y + 3 4 2 = 81 2

Dividindo a expressão toda por 81 2 , temos

x 2 9 2 + y + 3 4 2 81 16 = 1  

Essa é a expressão de uma elipse!! Seu esboço será:

Resposta

x 2 9 2 + y + 3 4 2 81 16 = 1

Essa é a expressão de uma elipse!!

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