Exercícios Resolvidos de Coordenadas Polares

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Enunciado

Mostre que, em um sistema de coordenadas polares, a distância d entre os pontos ( r 1 ,   θ 1 ) e ( r 2 ,   θ 2 ) é dada por

d = r 1 2 + r 2 2 - 2 r 1 r 2 c o s ⁡ ( θ 1 - θ 2 )

Passo 1

Eita, enunciado começou com “mostre que” já não gostei!

Calma, galera vocês vão ver que é mais fácil do que parece!

Vamos relembrar de novo as relações entre o sistema cartesiano e o polar:

x = r . cos ⁡ θ         ( 1 )

y = r . sin ⁡ θ         ( 2 )

x 2 +   y 2 = r 2 → r = x 2 +   y 2       ( 3 )

Belezoca! Vamos pensar na distância em coordenadas cartesianas:

d = x 1 - x 2 2 + y 1 - y 2 2

Agora, vamos substituir esses x e y pelas nossas coordenadas polares e vê no que dá!

Passo 2

Substituindo:

d = r 1 c o s θ 1 - r 2 c o s θ 2 2 + r 1 s i n θ 1 - r 2 s i n θ 2 2

d = r 1 2 cos 2 ⁡ θ 1 - 2 r 1 r 2 c o s θ 1 c o s θ 2 + r 2 2 cos 2 ⁡ θ 2 + r 1 2 sin 2 ⁡ θ 1 - 2 r 1 r 2 s i n θ 1 s i n θ 2 + r 2 2 sin 2 ⁡ θ 2

Colocando os termos em comum em evidência

d = r 1 2 ( cos 2 ⁡ θ 1 + sin 2 ⁡ θ 1 ) + r 2 2 ( cos 2 ⁡ θ 2 + sin 2 ⁡ θ 2 ) - 2 r 1 r 2 ( c o s θ 1 c o s θ 2 + s i n θ 1 s i n θ 2 )

Lembrando que:

cos 2 ⁡ θ 1 + sin 2 ⁡ θ 1 = 1

E

c o s θ 1 c o s θ 2 + s i n θ 1 s i n θ 2 = c o s ⁡ ( θ 1 - θ 2 )

Temos que:

d = r 1 2 + r 2 2 - 2 r 1 r 2 c o s ⁡ ( θ 1 - θ 2 )

Resposta

d = r 1 2 + r 2 2 - 2 r 1 r 2 c o s ⁡ ( θ 1 - θ 2 )

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