Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

Analise as seguintes afirmações sobre o campo

F → x ,   y ,   z = x ,   y ,   z x 2 + y 2 + z 2 3

(I) D i v F → =   1 .

(II) F → e conservativo em seu domínio.

(III) A integral de superfície de F → sobre qualquer a esfera de raio a é 0.

Podemos afirmar que:

a) todas as afirmações são verdadeiras.

b) apenas as afirmações (I) é (II) s ̃ao verdadeiras.

c) apenas as afirmações (I) é (III) s ̃ao verdadeiras.

d) apenas a afirmações (I) é verdadeira.

e) apenas a afirmações (II) é verdadeira.

Passo 1

Vamos analisar cada uma das afirmações:

(I) D i v F → =   1 .

A divergência de um campo vetorial F → é definida como a soma das derivadas parciais de suas componentes em relação às coordenadas x, y e z.

No caso de F → x ,   y ,   z = x ,   y ,   z x 2 + y 2 + z 2 3

a divergência é dada por:

D i v F → =   ∂ x x 2 +   y 2 +   z 2 3 ∂ x   +   ∂ y x 2 +   y 2 +   z 2 3 ∂ y   +   ∂ z x 2 +   y 2 +   z 2 3 ∂ z

Realizando os cálculos, você encontrará que a divergência não é igual a 1.

Portanto, a afirmação (I) é falsa.

Passo 2

(II) F → e conservativo em seu domínio.

Um campo vetorial F → é conservativo se sua integral de linha ao longo de qualquer curva fechada é zero.

Para verificar isso, precisamos verificar se o campo F →   possui um potencial escalar, ou seja, se existe uma função φ ( x ,   y ,   z )   t a l   q u e     F →   =   - ∇ φ ,   o n d e   ∇ φ é o gradiente de φ .

Calculando o rotacional de F →   r o t   F → , você verá que ele é igual a zero, indicando que F → é um campo conservativo.

Portanto, a afirmação (II) é verdadeira.

Passo 3

(III) A integral de superfície de F → sobre qualquer a esfera de raio a é 0.

Para verificar isso, precisamos calcular a integral de superfície de F → sobre uma esfera de raio a e ver se ela resulta em zero.

No entanto, a integral de superfície dependerá do campo vetorial F → e da orientação da esfera em relação a F → .

Nesse caso, como F → não é um campo conservativo, a integral de superfície sobre uma esfera de raio a não será necessariamente zero.

Portanto, a afirmação (III) é falsa.

Passo 4

Resumindo:

- (I) é falsa.

- (II) é verdadeira.

- (III) é falsa.

Resposta

e) apenas a afirmação (II) é verdadeira.