Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

Seja S a parte do plano z = 2 x + 3 limitada pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 . Uma parametrização da superfície S é

a )   x   =   u   c o s   v ,   y   =   u   s e n   v ,   z   =   2 u   c o s   v   +   3   c o m   v   ∈   [ 0 ,   2 π ]   e   u   ∈   [ 0 ,   1 ] .

b )   x   =   c o s   v ,   y   =   s e n   v ,   z   =   2 u   +   3 ,   c o m   v   ∈   [ 0 ,   2 π ] �� e   u   ∈   [ 0 ,   1 ] .

c )   x   =   u ,   y   =   v ,   z   =   2 u   +   3   c o m   v   ∈   [ - 1 ,   1 ]   e   u   ∈   [ - 1 ,   1 ] .

d )   x   =   c o s   v ,   y   =   s e n   v ,   z   =   u   c o m   v   ∈   [ 0 ,   2 π ]   e   u   ∈   [ 0 ,   2   c o s   v   +   3 ] .

Passo 1

Alou Alou galerinha, bora pra mais uma?

Para parametrizar a superfície S, precisamos encontrar uma maneira de representar as coordenadas x, y e z em termos de parâmetros u e v, que varrem intervalos específicos. Vamos analisar cada uma das opções dadas:

E eh claro que eu irei analisar todas as opções e destacar a opção correta:

a )   x   =   u   c o s   v ,   y   =   u   s e n   v ,   z   =   2 u   c o s   v   +   3 ,   c o m   v   ∈   [ 0 ,   2 π ]   e   u   ∈   [ 0 ,   1 ] .

- Esta parametrização leva em consideração a equação do cilindro x 2 +   y 2 =   1 .

- A equação z   =   2 u   c o s   v   +   3 descreve a altura acima do plano x y .

- Portanto, esta é a opção correta.

A opção a) apresenta a parametrização:

x   =   u   c o s   v ,

y   =   u   s e n   v ,

z   =   2 u   c o s   v   +   3 ,

onde v varia de 0 a 2π e u varia de 0 a 1.

Passo 2

Continuando com a opção (a): Ao considerar essa parametrização, podemos verificar se ela satisfaz as condições da superfície S.

Primeiro, verificamos a equação do cilindro x 2 +   y 2 =   1 .

Substituindo as expressões para x e y na equação do cilindro:

u cos ⁡ v 2 +   u   s e n �� v 2 =   u 2 cos 2 ⁡ v +   s e n 2 v =   u 2

Como u varia de 0 a 1, isso satisfaz a equação do cilindro x 2 +   y 2 =   1 .

Agora, verificamos a equação z   =   2 u   c o s   v   +   3 . Substituindo as expressões para x, y e z nessa equação:

2 u   c o s   v   +   3   =   2 ( u   c o s   v )   +   3   =   2 u   c o s   v   +   3 ,

Passo 3

b )   x   =   c o s   v ,   y   =   s e n   v ,   z   =   2 u   +   3 ,   c o m   v   ∈   [ 0 ,   2 π ]   e   u   ∈   [ 0 ,   1 ] .

- Esta parametrização não leva em consideração a equação do cilindro x 2 +   y 2 =   1 .

- A equação z   =   2 u   +   3 descreve uma superfície plana, não a superfície descrita.

- Portanto, esta opção está incorreta.

Passo 4

c )   x   =   u ,   y   =   v ,   z   =   2 u   +   3 ,   c o m   v   ∈   [ - 1 ,   1 ]   e   u   ∈   [ - 1 ,   1 ] .

- Esta parametrização não leva em consideraç��o a equação do cilindro x 2 +   y 2 =   1 .

- A equação z   =   2 u   +   3 descreve uma superfície plana, não a superfície descrita.

- Portanto, esta opção está incorreta.

Passo 5

d )   x   =   c o s   v ,   y   =   s e n   v ,   z   =   u ,   c o m   v   ∈   [ 0 ,   2 π ]   e   u   ∈   [ 0 ,   2   c o s   v   +   3 ] .

- Esta parametrização leva em consideração a equação do cilindro x ^ 2   +   y ^ 2   =   1 .

- A equação z   =   u não descreve a variação da altura acima do plano xy conforme especificado.

- Portanto, esta opção está incorreta.

Resposta

Portanto, após a análise, a opção correta para a parametrização da superfície S é a o p ç ã o  

a )   x   =   u   c o s   v ,   y   =   u   s e n   v ,   z   =   2 u   c o s   v   +   3 ,   c o m ,   v   ∈   0 ,   2 π   e   u   ∈   [ 0 ,   1 ] .