Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

(Cap.16.8 - Exercício 1) Um hemisfério H e uma porção P de um parabolóide são mostrados. Suponha que F → seja um campo vetorial sobre R ³ cujas componentes tenham derivadas parciais contínuas. Explique por quê

∬ H r o t   F → ⋅   d S → = ∬ P r o t   F → ⋅   d S →

Passo 1

Olá, tudo bem? Se você olhar o teorema 3 do livro vai ver o seguinte:

∬ S 1 r o t   F → ⋅   d S → = ∫ C F → ⋅ d r → = ∬ S 2 r o t   F → ⋅ d S →

Se S 1 e S 2 são suas superfícies orientadas com a mesma curva de fronteira C .

Então precisamos ver se as nossas regiões possuem a mesma equação de fronteira.

Passo 2

No nosso caso, essas duas regiões são o hemisfério H   ( x 2 + y 2 + z 2 = 4 ) e a parte do paraboloide P   ( z = 4 - x 2 - y 2 ) , que no plano x y   ( c o m   z = 0 ) possuem a mesma equação de fronteira: x 2 + y 2 = 4 , como podemos ver no desenho.

Show! Então essas duas regiões satisfazem a equação do passo 1 :

∬ H r o t   F → ⋅   d S → = ∫ C F → ⋅ d r → = ∬ P r o t   F → ⋅ d S →

E aí? Bora fazer mais desse capítulo?!

Resposta

∬ H r o t   F → ⋅   d S → = ∫ C F → ⋅ d r → = ∬ P r o t   F → ⋅ d S →