Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

Considere o campo F → x ,   y ,   z = x ,   y ,   z x 2 + y 2 + z 2 3 .

O trabalho realizado para deslocar uma partícula ao longo de uma curva lisa e simples contida na esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 com ponto inicial ( 2,0 , 0 )   e ponto final 1,1 , 2 é

  1. 0           b)         1     c) π / 4 d) π / 3 e)         π / 2

Passo 1

Alouuu, ceis tão bonzinho pessoar?

O campo vetorial é dado por

F → x ,   y ,   z = x ,   y ,   z x 2 + y 2 + z 2 3

e a curva C é parametrizada por 2 , - t , t , t 2 conforme calculado anteriormente.

A derivada d r / d t em relação ao parâmetro t   permanece a mesma:

d r d t = - 1,1 , 2

Agora, o produto escalar F ⋅ d r   é calculado da seguinte forma:

F → x ,   y ,   z = 2 , - t , t , t 2 ( 2 - t ) 2 + t 2 + t 2 2 3 ⋅ - 1,1 , 2

F ⋅ d r = - 2 - t + t + 2 t 2 - t 2 + t 2 + 2 t 2 3 / 2

F ⋅ d r = 3 t - 2 6 t 2 - 4 t + 4 3 / 2

Passo 2

Agora, calculamos a integral do produto escalar ao longo da curva:

W = ∫ C F ⋅ d r = ∫ t 1 t 2 3 t - 2 6 t 2 - 4 t + 4 3 / 2   d t

Substituindo \ (   t 1 = 0 )   e     t 2 =   1   :

W = ∫ 0 1 3 t - 2 6 t 2 - 4 t + 4 3 / 2 d t

Ao resolver numericamente essa integral, encontramos que o valor é aproximadamente 0.082. Portanto, a resposta correta é a opção A) 0.

Resposta

A )   0