Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

Calcule a integral de linha de campo vetorial ∫ C   F → . d r → onde C é a curva definida como interseção, no primeiro octante, do cilindro y 2 + z - 1 2 = 1 com o plano x = y , e o campo

F → x , y , z = e x 2 + y z ,   s e n y 2 + x z , x y

Escolhe e indique a orientação da curva C .

Passo 1

Bom, já viu que a expressão desse campo é zoadaça né, sem condições de resolver isso aí pela definição, vamos tentar Stokes.

Começamos calculando o rotacional para ver no que dá:

r o t F → = ∇ ×   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

r o t F → = x - x , y - y , z - z = ( 0,0 , 0 )

E, como o campo está definido em todo o R 3 , podemos dizer que ele é conservativo e tudo fica lindo :D

Passo 2

Beleza, agora vamos dar uma olhada na curva C , que é dada pela interseção de:

y 2 + z - 1 2 = 1

x = y

Graficamente é isso aqui:

A curva é essa elipse onde as superfícies se cortam. Como a curva se limita ao primeiro octante, temos isso aqui:

O problema pediu para a gente orientar C , vamos parametrizar em coordenadas polares deslocadas com r = 1 :

x = y = cos ⁡ θ

z = s e n   θ

σ θ = ( cos ⁡ θ , cos ⁡ θ ,   s e n   θ + 1 )

Vamos orientar de ( 0,0 , 0 ) a ( 0,0 , 2 ) , ou seja, do plano x z , sentido anti-horário.

Para entender os intervalos, precisamos imaginar que o arco está centralizado (porque a nossa parametrização “fez” isso). Temos, então:

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

Passo 3

Agora, para aplicarmos Stokes, precisamos fechar essa curva e definir uma superfície.Vamos fechar com esse segmento de reta que une os ponto inicial e final mesmo:

Para manter a orientação que demos ao arco:

Então, podemos aplicar o teorema;

∫ C   F → . d r → + ∫ r e t a   F → . d r → = ∬ S   r o t F → . n → d s = 0

∫ C   F → . d r → = - ∫ r e t a   F → . d r →

Onde S é qualquer superfície que tenha a figura acima como fronteira.

Passo 4

Para calcular a integral no segmento, precisamos, antes de tudo, parametrizá-lo.

Como ele é paralelo ao eixo z e tem x = y = 0 , podemos escrever:

r z = ( 0,0 , z )

Onde z vai de 2 a 0 (veja o desenho). Agora, derivamos isso aí:

r ' z = ( 0,0 , 1 )

Aplicando a fórmula:

∫ r e t a   F x , y , z ⋅ d r = ∫ a b F x z ,   y z ,   z z ⋅ r → ' t d z

O que nos dá:

F x z ,   y z ,   z ( z ) = 1,0 , 0

∫ r e t a   F x , y , z ⋅ d r = ∫ 2 0 1,0 , 0 . 0,0 , 1 d z = 0

Passo 5

Temos então:

∫ C   F → . d r → = - ∫ r e t a   F → . d r → = 0

Resposta

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