Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

UFRJ, Cálculo 3, P2 - 2015.1, Questão 3

Calcule a integral de linha de campo vetorial C   F . d r onde C é a curva definida como interseção, no primeiro octante, do cilindro y 2 + z - 1 2 = 1 com o plano x = y , e o campo

F x , y , z = e x 2 + y z ,   s e n y 2 + x z , x y

Escolhe e indique a orientação da curva C .

Passo 1

Bom, já viu que a expressão desse campo é zoadaça né, sem condições de resolver isso aí pela definição, vamos tentar Stokes.

Começamos calculando o rotacional para ver no que dá:

r o t F = ×   F = i j k x y z F 1 F 2 F 3

r o t F = F 3 y - F 2 z ,   F 1 z - F 3 x ,   F 2 x - F 1 y

r o t F = x - x , y - y , z - z = ( 0,0 , 0 )

E, como o campo está definido em todo o R 3 , podemos dizer que ele é conservativo e tudo fica lindo :D

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora vamos dar uma olhada na curva C , que é dada pela interseção de:

y 2 + z - 1 2 = 1

x = y

Graficamente é isso aqui:

A curva é essa elipse onde as superfícies se cortam. Como a curva se limita ao primeiro octante, temos isso aqui:

O problema pediu para a gente orientar C , vamos parametrizar em coordenadas polares deslocadas com r = 1 :

x = y = cos θ

z = s e n   θ

σ θ = ( cos θ , cos θ ,   s e n   θ + 1 )

Vamos orientar de ( 0,0 , 0 ) a ( 0,0 , 2 ) , ou seja, do plano x z , sentido anti-horário.

Para entender os intervalos, precisamos imaginar que o arco está centralizado (porque a nossa parametrização “fez” isso). Temos, então:

- π 2 θ π 2

Passo 3

Agora, para aplicarmos Stokes, precisamos fechar essa curva e definir uma superfície.Vamos fechar com esse segmento de reta que une os ponto inicial e final mesmo:

Para manter a orientação que demos ao arco:

Então, podemos aplicar o teorema;

C   F . d r + r e t a   F . d r = S   r o t F . n d s = 0

C   F . d r = - r e t a   F . d r

Onde S é qualquer superfície que tenha a figura acima como fronteira.

Passo 4

Para calcular a integral no segmento, precisamos, antes de tudo, parametrizá-lo.

Como ele é paralelo ao eixo z e tem x = y = 0 , podemos escrever:

r z = ( 0,0 , z )

Onde z vai de 2 a 0 (veja o desenho). Agora, derivamos isso aí:

r ' z = ( 0,0 , 1 )

Aplicando a fórmula:

r e t a   F x , y , z d r = a b F x z ,   y z ,   z z r ' t d z

O que nos dá:

F x z ,   y z ,   z ( z ) = 1,0 , 0

r e t a   F x , y , z d r = 2 0 1,0 , 0 . 0,0 , 1 d z = 0

Passo 5

Temos então:

C   F . d r = - r e t a   F . d r = 0

Resposta

0

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