1.

Calcule ∫ C F → d r → onde F → x , y , z = y z + e x , x z + e y 2 , x y e C é parametrizada por σ t = cos 3 ⁡ t , sen 2 ⁡ t , t + 1 , 0 ≤ t ≤ π

Resolução
2.

Calcule ∫ C F → d r → onde C é a curva parametrizada por sen ⁡ t , 1,1 + cos ⁡ t , 0 ≤ t ≤ π e o campo F → = y z e z + z , x z e z , x y e z z + 1

Resolução
3.

Calcule ∫ C F → d r → , onde F → x , y , z = z 2 , x z , 2 x y e C é a curva obtida como interseção da superfície z = 1 - y 2 , z ≥ 0 , com o plano 2 x + 3 z = 6 , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Resolução
4.

Seja C a curva em R 3 parametrizada por γ θ = cos ⁡ θ , sen ⁡ θ ,   θ ,     θ ∈ [ 0,2 π ] . Seja

F x , y , z = e x , 1 1 + y 2 , 1 1 + z

um campo vetorial em R 3 . Calcule a integral de linha do campo vetorial F ao longo de C .

Resolução
5.

Calcule a integral de linha de campo vetorial ∫ C   F → . d r → onde C é a curva definida como interseção, no primeiro octante, do cilindro y 2 + z - 1 2 = 1 com o plano x = y , e o campo

F → x , y , z = e x 2 + y z ,   s e n y 2 + x z , x y

Escolhe e indique a orientação da curva C .

Resolução
6.

Sejam F → x , y , z = 2 y z , y 3 , x + cos ⁡ z 4 e γ a interseção de z = 9 - x 2 - y 2 e y = 1 , percorrida de ( - 2 2 , 1,0 ) a ( 2 2 , 1,0 ) . Calcule

∫ γ F → . d r →

Resolução
7.

Calcule a integral do campo vetorial F → x , y , z = x + y + z , z + x + e - y 2 / 2 , x + y + e - z 2 / 2 ao longo da curva interseção da superfície x 2 4 + y 2 9 + z 2 = 1 , z ≥ 0 com o plano y = - 1 , orientada no sentido de crescimento de x .

Resolução
8.

Calcule a integral de linha vetorial ∮ γ F → d r → , onde

F → x , y , z = e x 2 - 3 y z + x ,   e y 2 + x z + y ,   - e z 2 - x y + z

E γ é a intersecção, no primeiro octante, do cilindro x 2 + y 2 = 2 x e com o plano x = z , do ponto inicial 0 ,   0 ,   0 até o ponto final ( 2 ,   0 ,   2 ) . (Obs.: cos 2 ⁡ θ = 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 θ ) e cos 4 ⁡ θ = 1 8 ( cos ⁡ 4 θ + 4 cos ⁡ 2 θ + 3 ) . )

Resolução
9.

Questão 2: Seja S 1 a superfície contida no elipsoide de equação implícita x 2 + 5 y 2 + z - 6 2 = 20 e acima do plano z = 2 x + 6 e seja

F x ,   y ,   z = - 2 cos ⁡ x y + e y 2 + 2 x y e x 2 ,   2 x y e y 2 + e x 2 - z 2 , cos ⁡ x y + x

Um campo espacial.

  1. Mostre que ∂ S 1 , a curva na fronteira de S 1 , está contida na superfície de equação x 2 + y 2 = 4 .
  2. Calcule r o t F .
  3. Considere que ∂ S 1 é orientada de modo que sua projeção no plano x y é percorrida no sentido anti-horário e calcule o trabalho do campo F ao longo de ∂ S 1 .
Resolução
10.

Use o teorema de Stokes para Calcular o trabalho ∫ γ F → .   d r → do campo

F → = e x 2 - 3 y z + x ,   e y 2 + x z + 3 y ,   - e x 2 - x y + z

ao longo da curva parametrizada por γ t = t c o s t ,   t s e n t ,   t com 0 ≤ t ≤ 2 π .

Resolução

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