Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

UFRJ, Cálculo 3, P2 - 2017.1, Questão 3

Calcule a integral de linha vetorial γ F d r , onde

F x , y , z = e x 2 - 3 y z + x ,   e y 2 + x z + y ,   - e z 2 - x y + z

E γ é a intersecção, no primeiro octante, do cilindro x 2 + y 2 = 2 x e com o plano x = z , do ponto inicial 0 ,   0 ,   0 até o ponto final ( 2 ,   0 ,   2 ) . (Obs.: cos 2 θ = 1 2 ( 1 + cos 2 θ ) e cos 4 θ = 1 8 ( cos 4 θ + 4 cos 2 θ + 3 ) . )

Passo 1

Para a gente ter uma noção clara do que vamos ter que fazer, é legal a gente ter uma boa visão de γ , certo? Então me acompanha aqui!

Bem... γ   é a intersecção do cilindro x 2 + y 2 = 2 x com o plano x = z . E esse cilindro está deslocado uma unidade em x , se lembra?

x 2 + y 2 = 2 x         x 2 - 2 x + y 2 = 0    

Completando quadrado...

x - 1 2 - 1 + y 2 = 0             x - 1 2 + y 2 = 1    

Fazendo a intersecção com o plano x = z que é um plano paralelo ao eixo y , e lembrando que queremos apenas o primeiro octante, obteremos a γ em amarelo. :D

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Podemos ver que resolver aquele integral de linha direto pode nos dar muita dor da cabeça! Logo a gente vai recorrer a um método alternativo: ao teorema de Stokes que nos diz o seguinte

S F d r = S r o t   F n d S

Onde

  • S é a borda de uma superfície fechada S
  • n são os vetores normais a S orientada positivamente
  • r o t   F é o rotacional do campo não singular (o campo que temos é não singular!:D)

Passo 3

Começando pelo S , devemos escolher uma superfície fechada que tenha como borda, justamente a curva γ que queremos simplificar.

Ora! A superfície mais simples que faz isso é justamente a que está em cima do plano que delimita γ

Cuidado! Essa orientação de toda borda deve ser a mesma pedida no exercício, okay?

S = γ γ 1

Logo, do primeiro lado da equação de Stokes acima, teremos S F d r = γ F d r + γ 1 F d r :

γ F d r + γ 1 F d r = S r o t   F n d S

Portanto, pra gente encontrar o resultado que a gente quer, vamos calcular essas outras duais integrais aí e ver no que dá! :)

Passo 4

Vamos começar com a integral de superfície, e, portanto, a parametrizando.

Como a superfície S está delimitada pelo cilindro, podemos pensar em uma parametrização em coordenadas cilíndricas (Mas lembre-se!: o cilindro está deslocado)

x - 1 = r cos θ  

y = r sin θ

Como na superfície S , z = x

z = 1 + r cos θ

Logo,

φ r ,   θ = ( 1 + r cos θ ,   r sin θ ,   1 + r cos θ )

Onde r varia até chegar o raio máximo do cilindro e θ dá uma meia volta, ou seja,

0 r 1

0 θ π

Passo 5

Vamos prosseguir calculando o r o t   F .

Lembrando da fórmula da rotacional de um campo e calculando as integrais a gente vai ter

r o t   F = F 3 y - F 2 z ,   F 1 z - F 3 x ,   F 2 x - F 1 y

r o t   F = - x - x ,   - 3 y - - y ,   z - ( - 3 z )

r o t   F = - 2 x , - 2 y , 4 z

Ótimo! O rotacional realmente simplifica a nossa vida. Vamos ver se o vetor normal faz o mesmo?

n = φ r × φ θ

Calculando essas derivadas parciais da superfície

φ r r ,   θ = ( cos θ , sin θ , cos θ )

φ θ r ,   θ = ( - r sin θ ,   r cos θ ,   - r sin θ )

E jogando no determinante esses vetores e;

n = i ^ j ^ k ^ cos θ sin θ cos θ - r sin θ r cos θ - r sin θ =

Calculando... vamos obter

n = - r ,   0 ,   r

Observe que precisamos de mudar o sinal do vetor normal porque a curva está orientanda negativamente, logo, pela regrada mão direita precisamos da coordenada z negativa, ou seja

n = r ,   0 ,   - r

Passo 6

Jogando tudo na integral de superfície e resolvendo o produto interno do rotacional com vetor normal:

S r o t   F n d S = 0 π 0 1 - 2 x , - 2 y , 4 z r ,   0 ,   - r d r d θ

Note que a única coordenada que nos interessa é a primeira e a última, pois elas não vão zerar, porém... precisamos mudar as coordenadas z e y para as coordenadas polares

0 π 0 1 - 2 r 1 + r cos θ - 4 r 1 + r cos θ d r d θ = - 6 0 π 0 1 r + r 2 cos θ d r d θ

Em θ a gente mata a integral mole e em r é um polinômio, logo a gente mata fácil

- 6 0 π r 2 2 + r 3 3 cos θ 0 1 d θ = - 6 0 π 1 2 + cos θ 3 d θ =

= - 6 θ 2 + sen θ 3 0 π = - 6 π 2 + 0 - 0 - 0 = - 3 π

S r o t   F n d S = - 3 π

Passo 7

Agora falta pra gente a integral de linha γ 1 F d r , que eu prometo ser mais simples!;)

Vamos começar parametrizando essa curva γ 1 que é uma reta onde y = 0 e x = z , pois ela está em cima do plano

Logo

σ t = ( t ,   0 ,   t )

Onde x = t então t vai de 2 até 0 , pois queremos que a reta vá do ponto 2,0 , 2 até o 0,0 , 0 !

Agora derivando a superfície para obter o termo d r = σ ' t d t

σ ' t = ( 1 ,   0 ,   1 )

Bem... não esquecendo de aplicar no campo vetorial F a parametrização, podemos, por fim, ir para a integral

γ 1 F d r = γ 1 F ( σ t ) σ ' t d t = 2 0 e t 2 + t ,   1 + t 2 ,   - e t 2 + t 1 ,   0 ,   1 d t

Resolvendo esse produto interno...

γ 1 F d r = 2 0 e t 2 + t - e t 2 + t d t

γ 1 F d r = 2 0 2 t   d t

γ 1 F d r = t 2 2 0 = - 4

Conforme prometido, está aí! ;)

Passo 8

Agora voltando para o nosso problema e substituindo tudo nas integrais...

γ F d r + γ 1 F d r = S r o t   F n d S

γ F d r - 4 = - 3 π

γ F d r = 4 - 3 π

Resposta

γ F d r = 4 - 3 π

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