Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

Elaboração Própria

Calcule C F d r onde C é a curva parametrizada por sen t , 1,1 + cos t , 0 t π e o campo F = y z e z + z , x z e z , x y e z z + 1

Passo 1

Vamos lá galera, fazer essa integral de linha diretamente parece impossível, né? Vamos tentar outra estratégia aqui. Perceba que a curva C é aberta, ela tem esse formato aqui

Se não podemos calcular direto, vamos tentar fechar essa curva e usar o teorema de Stokes, perceba que o rotacional desse campo é bem simples

r o t F = F 3 y - F 2 z , F 1 z - F 3 x , F 2 x - F 1 y

F = y z e z + z , x z e z , x y e z z + 1

r o t F = ( x e z z + 1 - x e z + x z e z , y e z + y z e z + 1 - y e z z + 1 , z e z - z e z )

r o t F = 0,1 , 0

Vamos então fechar C com a reta que liga as extremidades dessa curva! Assim olha

O teorema de Stokes fica

C F d r + C 1 F d r = S r o t F . n d S

Precisamos então só calcular a integral dupla e a integral de linha de C 1 , vamos lá?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar com a integral de superfície, ela é uma superfície contida no plano y = 1 , certo? Com isso a normal é fácil de ser encontrada! Se você não lembra, a normal de um plano qualquer

a x + b y + c z = d

N = a , b , c

No nosso plano y = 1 , temos que a = 0 , b = 1 e c = 0 , portanto

N = 0,1 , 0

Lembrando que o rotacional calculado lá no passo 1 é esse aqui

r o t F = 0,1 , 0

A nossa integral de superfície fica isso aqui então

S 0,1 , 0 . 0,1 , 0 d S = S 1 d S = Á r e a   d a   S u p e r f í c i e

Que beleza! A área da superfície facilita muito! Perceba que a nossa superfície é metade da área de um círculo de raio 1 ! Portanto

Á r e a = π r 2 2 = π 2

S r o t F . n d S = π 2

Passo 3

Vamos agora para a nossa integral de linha da curva C 1

C 1 F d r

Precisamos de uma parametrização dessa reta, não é? Ela liga as extremidades da curva C , vamos descobrir quais são esses pontos

t = 0 A = sen 0 , 1,1 + cos 0 = 0,1 , 2

t = π A = sen π , 1,1 + cos π = 0,1 , 0

Então a nossa reta é constante em x = 0 e y = 1 , podemos parametrizá-la como

σ t = 0,1 , t

0 t 2

Beleza, substituindo esses valores no campo F ficamos com

F = y z e z + z , x z e z , x y e z z + 1

F t = t e t + t , 0,0

A derivada da parametrização é essa aqui

σ ' t = 0,0 , 1

Portanto a integral de linha fica isso aqui

C 1 F d r = 0 2 t e t + t , 0,0 . 0,0 , 1 d t

= 0 2 0 d t = 0

C 1 F d r = 0

Passo 4

Agora é só voltar lá pro que montamos no teorema de Stokes

C F d r + C 1 F d r = S r o t F . n d S

C F d r + 0 = π 2

C F d r = π 2

Resposta

π 2

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