Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

Ver Teoria

Enunciado

Calcule ∫ C F → d r → onde C é a curva parametrizada por sen ⁡ t , 1,1 + cos ⁡ t , 0 ≤ t ≤ π e o campo F → = y z e z + z , x z e z , x y e z z + 1

Passo 1

Vamos lá galera, fazer essa integral de linha diretamente parece impossível, né? Vamos tentar outra estratégia aqui. Perceba que a curva C é aberta, ela tem esse formato aqui

Se não podemos calcular direto, vamos tentar fechar essa curva e usar o teorema de Stokes, perceba que o rotacional desse campo é bem simples

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z , ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x , ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

F → = y z e z + z , x z e z , x y e z z + 1

r o t F → = ( x e z z + 1 - x e z + x z e z , y e z + y z e z + 1 - y e z z + 1 , z e z - z e z )

r o t F → = 0,1 , 0

Vamos então fechar C com a reta que liga as extremidades dessa curva! Assim olha

O teorema de Stokes fica

∫ C F → d r → + ∫ C 1 F → d r → = ∬ S r o t F → . n → d S

Precisamos então só calcular a integral dupla e a integral de linha de C 1 , vamos lá?

Passo 2

Vamos começar com a integral de superfície, ela é uma superfície contida no plano y = 1 , certo? Com isso a normal é fácil de ser encontrada! Se você não lembra, a normal de um plano qualquer

a x + b y + c z = d

N → = a , b , c

No nosso plano y = 1 , temos que a = 0 , b = 1 e c = 0 , portanto

N → = 0,1 , 0

Lembrando que o rotacional calculado lá no passo 1 é esse aqui

r o t F → = 0,1 , 0

A nossa integral de superfície fica isso aqui então

∬ S 0,1 , 0 . 0,1 , 0 d S = ∬ S 1 d S = Á r e a   d a   S u p e r f í c i e

Que beleza! A área da superfície facilita muito! Perceba que a nossa superfície é metade da área de um círculo de raio 1 ! Portanto

Á r e a = π r 2 2 = π 2

∬ S r o t F → . n → d S = π 2

Passo 3

Vamos agora para a nossa integral de linha da curva C 1

∫ C 1 F → d r →

Precisamos de uma parametrização dessa reta, não é? Ela liga as extremidades da curva C , vamos descobrir quais são esses pontos

t = 0 → A = sen ⁡ 0 , 1,1 + cos ⁡ 0 = 0,1 , 2

t = π → A = sen ⁡ π , 1,1 + cos ⁡ π = 0,1 , 0

Então a nossa reta é constante em x = 0 e y = 1 , podemos parametrizá-la como

σ t = 0,1 , t

0 ≤ t ≤ 2

Beleza, substituindo esses valores no campo F → ficamos com

F → = y z e z + z , x z e z , x y e z z + 1

F → t = t e t + t , 0,0

A derivada da parametrização é essa aqui

σ ' t = 0,0 , 1

Portanto a integral de linha fica isso aqui

∫ C 1 F → d r → = ∫ 0 2 t e t + t , 0,0 . 0,0 , 1 d t

= ∫ 0 2 0 d t = 0

∫ C 1 F → d r → = 0

Passo 4

Agora é só voltar lá pro que montamos no teorema de Stokes

∫ C F → d r → + ∫ C 1 F → d r → = ∬ S r o t F → . n → d S

∫ C F → d r → + 0 = π 2

∫ C F → d r → = π 2

Resposta

π 2