Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

Ver Teoria

Enunciado

Calcule ∫ C F → d r → , onde F → x , y , z = z 2 , x z , 2 x y e C é a curva obtida como interseção da superfície z = 1 - y 2 , z ≥ 0 , com o plano 2 x + 3 z = 6 , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

Vamos lá, galera, essa é bem parecida com aquela que resolvemos na teoria, né? Primeira coisa que precisamos fazer é esboçar nossa curva pra entender que tipo de problema estamos lidando. A interseção do cilindro z = 1 - y 2 com o plano 2 x + 3 z = 6 é isso aqui

Portanto estamos lidando com uma curva aberta, o problema é que fazer essa integral diretamente seria muito trabalhoso. Vamos tentar calcular o rotacional pra ver se usar o teorema de Stokes é simples

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z , ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x , ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

F → x , y , z = z 2 , x z , 2 x y

r o t F → = 2 x - x , 2 z - 2 y , z - 0 = x , 2 z - 2 y , z

Beleza, vamos fechar a curva com a reta C 1 que liga as duas extremidades e ver como fica o teorema de Stokes

Lembre-se de tomar cuidado com as orientações das curvas! O enunciado pediu a curva C com orientação anti-horária quando vista de cima, a orientação correta é essa aí do esboço. O teorema de Stokes fica

∫ C F → d r → + ∫ C 1 F → d r → = ∬ S r o t F → . n → d S

Vamos calcular então essa integral de superfície e essa integral de linha pra chegarmos na resposta final, vamos lá?

Passo 2

Como já calculamos o rotacional ali no passo 1, vamos terminar a integral dessa superfície logo. Precisamos parametrizá-la, descobrir o seu vetor normal e integrar tudo, certo? Vamos começar pela parametrização.

A superfície está toda contida no plano 2 x + 3 z = 6 , sendo que somente é limitada pelo cilindro z = 1 - y 2 , podemos obter uma parametrização explícita pela equação do plano!

x = x

y = y

z = 6 - 2 x 3

Os limites de x e y obtemos pela projeção da superfície no plano x y

Essa parábola no plano x y é obtida pela interseção do plano com o cilindro

z = 1 - y 2

2 x + 3 z = 6

2 x + 3 1 - y 2 = 6

2 x + 3 - 3 y 2 = 6

2 x = 3 y 2 + 3

x = 3 2 y 2 + 1

Além disso o enunciado diz que z ≥ 0 , portanto

6 - 2 x 3 ≥ 0 → x ≤ 3

Portanto os intervalos de x e y são

3 2 y 2 + 1 ≤ x ≤ 3

- 1 ≤ y ≤ 1

Graficamente dava pra perceber isso também, só não tínhamos essa equação bizarra da parábola.

Como agora temos a parametrização, vamos substituir isso no nosso rotacional

r o t F → = x , 2 z - 2 y , z = x , 12 - 4 x 3 - 2 y , 6 - 2 x 3

Pode estar parecendo meio bizarro, mas o produto escalar dessa cara com a normal vai facilitar um pouco as coisas, prometo!

Passo 3

A normal do plano podemos obter pelo macete de quando a parametrização é explícita, lembra dele? É isso aqui, quando z = f x , y

N → = - ∂ f ∂ x , - ∂ f ∂ y , 1

No nosso caso,

f x , y = 6 - 2 x 3

N → = 2 3 , 0,1

Com essa normal vamos poder zerar o termo do meio do rotacional!

Passo 4

Agora é só substituir na integral de superfície

∬ S r o t F → . n → d S = ∫ - 1 1 ∫ 3 2 y 2 + 1 3 x , 12 - 4 x 3 - 2 y , 6 - 2 x 3 . 2 3 , 0,1 d x d y

= ∫ - 1 1 ∫ 3 2 y 2 + 1 3 2 x 3 + 6 3 - 2 x 3 d x d y = ∫ - 1 1 ∫ 3 2 y 2 + 1 3 2 d x d y

Agora é só integrar!

= ∫ - 1 1 2 3 - 3 2 y 2 + 1 d y = ∫ - 1 1 6 - 3 y 2 - 3 d y

= ∫ - 1 1 3 - 3 y 2 = 3 y - y 3 - 1 1

= 3 - 1 - - 3 + 1 = 2 + 2

∬ S r o t F → . n → d S = 4

Passo 5

Pronto, passou a parte mais chata, essa integral de linha agora vai ser mais tranquila. Ela é uma reta, certo? Vamos ver que pontos ela liga!

Sabemos que as extremidades dela estão no plano z = 0 . Além disso, essas extremidades são limitadas por - 1 ≤ y ≤ 1 , então em uma o valor de y é - 1 e em outra é 1 . Beleza, agora falta x . Podemos ver isso pela equação do plano, afinal essa reta pertence a ele!

2 x + 3 z = 6 → z = 0

2 x = 6

x = 3

Portanto a reta liga os pontos ( 3 , - 1,0 ) até ( 3,1 , 0 ) e podemos parametrizá-la por

σ t = 3 , t , 0

- 1 ≤ t ≤ 1

Para calcular a integral dessa reta, precisamos da derivada da sua parametrização e do campo F escrito conforme o parâmetro t , vamos fazer isso agora

F → x , y , z = z 2 , x z , 2 x y

F → t = 0 2 , 3.0,2.3 . t = 0,0 , 6 t

σ ' t = 0,1 , 0

Portanto a integral de linha fica isso aqui

∫ C 1 F → d r → = ∫ - 1 1 0,0 , 6 t . 0,1 , 0 d t = ∫ - 1 1 0 d t

∫ C 1 F → d r → = 0

Passo 6

Pronto, agora é só voltar para o teorema de Stokes

∫ C F → d r → + ∫ C 1 F → d r → = ∬ S r o t F → . n → d S

∫ C F → d r → + 0 = 4

∫ C F → d r → = 4

Resposta

4