Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G3 - 2018.1, Questão 2

Questão 2: Seja S 1 a superfície contida no elipsoide de equação implícita x 2 + 5 y 2 + z - 6 2 = 20 e acima do plano z = 2 x + 6 e seja

F x ,   y ,   z = - 2 cos x y + e y 2 + 2 x y e x 2 ,   2 x y e y 2 + e x 2 - z 2 , cos x y + x

Um campo espacial.

  1. Mostre que S 1 , a curva na fronteira de S 1 , está contida na superfície de equação x 2 + y 2 = 4 .
  2. Calcule r o t F .
  3. Considere que S 1 é orientada de modo que sua projeção no plano x y é percorrida no sentido anti-horário e calcule o trabalho do campo F ao longo de S 1 .

Passo 1

a )

Sempre é bom ter uma noção geométrica da superfície que estamos trabalhando pra facilitar o nosso estudo. Aqui, envolve o desenho de elipsoide e de um plano que é paralelo ao eixo y :

POW! Essa superfície foi desenhada graficamente no meu computador, mas eu reconheço que a gente não tem um computador na hora da prova, não é verdade? Por isso não precisa fazer um desenho perfeito, basta você entender que a superfície está em cima de um elipsoide deslocado em z de 6 unidades pra cima, e além disso, só queremos um pedaço acima de um plano paralelo ao eixo y , beleza?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bem, mas o que o problema na letra a realmente quer, é que a gente mostre que essa curva azul aqui na borda de S 1 :

Está contida no cilindro x 2 + y 2 = 4 . Para fazer essa prova, basta pegar equação do plano e do elipsoide e resolver o sistema:

x 2 + 5 y 2 + z - 6 2 = 20   z = 2 x + 6          

x 2 + 5 y 2 + 2 x + 6 - 6 2 = 20      

x 2 + 5 y 2 + 2 x 2 = 20      

x 2 + 5 y 2 + 4 x 2 = 20      

5 x 2 + 5 y 2 = 20      

x 2 + y 2 = 4

VIU! De fato essa curva azul está em cima de um cilindro de raio 2 !

Passo 3

b )

Para o calculo do rotacional, temos que se lembrar da fórmula:

r o t F = F 3 y - F 2 z ,   F 1 z - F 3 x ,   F 2 x - F 1 y    

Calculando cada derivada lembrando que F 1 , F 2   e F 3 são as componentes do campo...

F x ,   y ,   z = F 1 ,   F 2 ,   F 3 = - 2 cos x y + e y 2 + 2 x y e x 2 ,   2 x y e y 2 + e x 2 - z 2 , cos x y + x

Derivando com atenção nas regras do produto e na regra da cadeia:

r o t F = - sin x y x - - 2 z ,   0 - - sin x y y + 1 ,   2 y e y 2 + e x 2 2 x - + 2 sin x y x + e y 2 2 y + 2 x e x 2    

r o t F = - x sin x y + 2 z ,   y sin x y - 1 ,   2 y e y 2 + 2 x e x 2 - 2 x sin x y - 2 y e y 2 - 2 x e x 2    

Logo, fazendo as simplificações todas...

r o t F = - x sin x y + 2 z ,   y sin x y - 1 ,   - 2 x sin x y

Passo 4

c )

Trabalho de F ao longo da curva borda de S 1 é dado por uma integral de linha dessa forma aqui:

T r a b a l h o = S 1   F d r

Calcular essa integral de linha de uma forma direta seria muito complicado, pois o campo F não é nada fácil, além disso, já temos o rotacional calculado e vemos que ele é mais elegante que o campo F . Essas dois fatos nos indica que vamos resolver a integral de linha de forma indireta pelo TEOREMA DE STOKES!

Passo 5

Por esse Teorema, temos a linda igualdade:

S 1   F d r = S   r o t F n   d S

Onde S é uma superfície que é delimitada pela curva S 1 . Então, para aplicar essa igualdade temos que encontrar essa superfície!

Veja que poderíamos pegar qualquer superfície que é fechada por essa curva borda azul, inclusive poderíamos pegar o próprio pedaço de elipsoide. Porém, a gente costuma escolher a superfície mais fácil que encontramos. Nesse caso é o plano azul delimitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 4 ...

Passo 6

Outras duas condições do teorema são:

  1. Ter uma orientação positiva entre a superfície escolhida e a curva. Como a curva gira no sentido anti-horário pelo enunciado, devemos ter um vetor norma na superfície orientada pra cima (pela regra da mão direita):
  2. Outra condição diz respeito ao campo F , já que esse cara não pode ter singularidades (problemas de definição) onde estamos trabalhando:

F x ,   y ,   z = - 2 cos x y + e y 2 + 2 x y e x 2 ,   2 x y e y 2 + e x 2 - z 2 , cos x y + x

Como você mesmo pode ver, esse campo funciona em qualquer ponto x ,   y ,   z que quisermos, concluindo que ele realmente não tem singularidades alguma !

Passo 7

Com essas condições estando satisfeitas, podemos retornar para o teorema de Stokes

S 1   F d r = S   r o t F n   d S

Onde vamos calcular a integral de superfície em cima desse S aqui:

OK! Então se vamos fazer isso, é melhor fazermos seguindo o método de resolução que conhecemos para integral de superfície de um campo vetorial:

  1. Encontrar uma parametrização para a superfície.
  2. Calcular n   d S .
  3. Encontrar o r o t F nas coordenadas da parametrização.

Então vamos nessa?

Passo 8

Uma parametrização para a superfície que está em cima de um plano z = 2 x + 6 , que é uma equação explícita, é um parametrização também explícita onde o x e o y variam livremente, enquanto z está amarrado:

σ x ,   y = x ,   y ,   2 x + 6

Mas o x e o y também não estão tão livres assim, já que sabemos que eles só podem estar dentro do cilindro de raio 2 :

x 2 + y 2 4

Em outras palavras: o x e o y variam dentro do disco no plano x y :

Passo 9

A segunda coisa que temos que fazer é encontrar:

n   d S = N   d x d y

Para encontrar o vetor normal a uma superfície parametrizada como gráfico de uma função dessa forma

z = f x ,   y = 2 x + 6

Pode ser feito pelo Bizu:

N = - f x ,   - f y ,   1 = - 2 ,   0 ,   1

Veja que esse vetor normal também atende a condição de termos um vetor normal apontado pra cima. Se não atendesse, bastaríamos multiplicarmos por - 1 !

Passo 10

Outra coisa que temos que fazer aqui, e a última antes de retornarmos para a integral de superfície, é encontrar o r o t F como função dos parâmetros:

r o t F = - x sin x y + 2 z ,   y sin x y - 1 ,   - 2 x sin x y

Para isso, basta trocar o z = 2 x + 6 ...

r o t F σ x ,   y = - x sin x y + 2 2 x + 6 ,   y sin x y - 1 ,   - 2 x sin x y  

r o t F σ x ,   y = - x sin x y + 4 x + 12 ,   y sin x y - 1 ,   - 2 x sin x y

Passo 11

Voltando para a integral de superfície então...

S   r o t F n   d S = D   - x sin ��� x y + 4 x + 12 ,   y sin x y - 1 ,   - 2 x sin x y - 2 ,   0 ,   1   d x d y =

D   2 x sin x y - 8 x - 24 + - 2 x sin x y   d x d y =

D   - 8 x - 24   d x d y

Veja que agora trocamos a integral de superfície pela integral dupla em cima da região D . Como essa região é um disco de raio 2 e centrado na origem:

Podemos calcular a integral dupla fazendo por coordenadas polares:

x = r cos θ

y = r sin θ

Onde o Jacobiano dessa mudança vale:

J = r

Como D é um disco de raio 2 dando uma volta completa...

0 θ 2 π

0 r 2

Logo...

D   - 8 x - 24   d x d y = 0 2 π 0 2 - 8 r cos θ - 24 J   d r d θ =

0 2 π 0 2 - 8 r cos θ - 24 r   d r d θ

Passo 12

Calculando a integral dupla...

0 2 π 0 2 - 8 r 2 cos θ - 24 r   d r d θ = 0 2 π - 8 r 3 3 cos θ - 12 r 2 0 2 d θ =

0 2 π - 8 2 3 3 cos θ - 12 2 2 d θ =

- 8 2 3 3 sin θ - 12 4 θ 0 2 π =

- 12 4 2 π = - 96 π

Então pelo teorema de Stokes...

T r a b a l h o = S 1   F d r = - 96 π

Resposta

a )   x 2 + 5 y 2 + z - 6 2 = 20   z = 2 x + 6                   x 2 + y 2 = 4

b )   r o t F = - x sin x y + 2 z ,   y sin x y - 1 ,   - 2 x sin x y

c ) - 96 π

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