Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

UFRJ, Cálculo 3, P2 - 2013.1, Questão 2

Seja C a curva em R 3 parametrizada por γ θ = cos θ , sen θ ,   θ ,     θ [ 0,2 π ] . Seja

F x , y , z = e x , 1 1 + y 2 , 1 1 + z

um campo vetorial em R 3 . Calcule a integral de linha do campo vetorial F ao longo de C .

Passo 1

A curva é alguma coisa desse tipo.

A gente pode até usar a parametrização que o problema nos deu e tentar resolver isso aqui por uma integral de linha de um campo vetorial, mas tá vendo como essa função é escrota?!

Então provavelmente tem uma outra forma de resolver isso.

Se a curva fosse fechada, nós poderíamos usar o Teorema de Stokes pra resolver o problema, certo?

Então porque não fechamos essa curva?!

Po, mas como assim?!

Se liga, se o Teorema de Stokes calcula a integral de linha sobre uma curva fechada C 2 , ela calcularia a integral de linha sobre a curva C que é o que queremos, mais a integral de linha sobre a curva que vamos usar pra fechar, que vamos chamar de C 1 .

Basicamente, o que acontece é o seguinte:

C 2   F . d r = C F . d r + C 1 F . d r

C F . d r = C 2   F . d r - C 1 F . d r

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Passo 2

Imaginando qual curva seria melhor pra fechar a curva C , o que vem logo à cabeça é uma linha ligando os pontos inicial e final de C .

E parece curva boa porque, nela, o x e o y permanecem constantes e só o z varia.

Repara que essa nova curva vai de 1,0 , 2 π à 1,0 , 0 , estamos ligando o ponto final ao inicial para fechar essa curva, pode parecer estranho que agora a reta vai ter mudado a ordem mas é isso mesmo que acontece quando fechamos uma curva.

Pelo teorema de Stokes aqui, a nossa superfície é o interior dessa curva aí, é meio difícil imaginar, mas como a curva é fechada, ela tem uma superfície que podemos usar o teorema, beleza?

Bom, vamos pros cálculos.

Passo 3

De acordo com o Teorema de Stokes:

C 2   F . d r = S   r o t F . n d s

Vamos começar calculando o rotacional de F .

F x , y , z = e x , 1 1 + y 2 , 1 1 + z

r o t F = i j k x y z e x 1 1 + y 2 1 1 + z

r o t F = 0,0 , 0

Show de bola! Então F é um campo conservativo! Isso vai facilitar a nossa vida! :D

E a integral de linha de um campo conservativo sobre uma curva fechada é SEMPRE igual a zero.

Portanto:

C 2   F . d r = 0

Passo 4

C 1 F . d r = a b F x t ,   y t , z t . σ ' t d t

Vamos começar parametrizando a nossa curva.

Nela, como podemos ver no gráfico, x e y permanecem constantes e somente z varia. Como temos que seguir o sentido da trajetória, os pontos inicial e final da curva são:

a = 1,0 , 2 π

b = 1,0 , 0

Então uma parametrização que parece boa é a seguinte:

x t = 1

y t = 0

z t = - t

σ t = 1 ,   0 ,   - t

- 2 π t 0

Passo 5

Para montar a integral, precisamos saber quem é F x t ,   y t ,   z t e σ ' t .

σ t = 1 ,   0 ,   - t

F x , y , z = e x , 1 1 + y 2 , 1 1 + z

F x t ,   y t ,   z t = e 1 , 1 , 1 1 - t

σ ' t = 0 ,   0 ,   - 1

Passo 6

Agora podemos montar a integral

C 1 F . d r = - 2 π 0 e 1 , 1 , 1 1 - t . 0 ,   0 ,   - 1 d t

= - - 2 π 0 1 1 - t d t

Voltando pra integral:

= ln 1 - t - 2 π 0 = ln | 1 | - ln | 1 + 2 π |

= - ln | 1 + 2 π |

Passo 7

C F . d r = C 2   F . d r - C 1 F . d r

= 0 - - ln 1 + 2 π

= ln 1 + 2 π

Resposta

ln 1 + 2 π

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