Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

Seja C a curva em R 3 parametrizada por γ θ = cos ⁡ θ , sen ⁡ θ ,   θ ,     θ ∈ [ 0,2 π ] . Seja

F x , y , z = e x , 1 1 + y 2 , 1 1 + z

um campo vetorial em R 3 . Calcule a integral de linha do campo vetorial F ao longo de C .

Passo 1

A curva é alguma coisa desse tipo.

A gente pode até usar a parametrização que o problema nos deu e tentar resolver isso aqui por uma integral de linha de um campo vetorial, mas tá vendo como essa função é escrota?!

Então provavelmente tem uma outra forma de resolver isso.

Se a curva fosse fechada, nós poderíamos usar o Teorema de Stokes pra resolver o problema, certo?

Então porque não fechamos essa curva?!

Po, mas como assim?!

Se liga, se o Teorema de Stokes calcula a integral de linha sobre uma curva fechada C 2 , ela calcularia a integral de linha sobre a curva C que é o que queremos, mais a integral de linha sobre a curva que vamos usar pra fechar, que vamos chamar de C 1 .

Basicamente, o que acontece é o seguinte:

∮ C 2   F → . d r = ∫ C F → . d r + ∫ C 1 F → . d r

∫ C F → . d r = ∮ C 2   F → . d r - ∫ C 1 F → . d r

Passo 2

Imaginando qual curva seria melhor pra fechar a curva C , o que vem logo à cabeça é uma linha ligando os pontos inicial e final de C .

E parece curva boa porque, nela, o x e o y permanecem constantes e só o z varia.

Repara que essa nova curva vai de 1,0 , 2 π à 1,0 , 0 , estamos ligando o ponto final ao inicial para fechar essa curva, pode parecer estranho que agora a reta vai ter mudado a ordem mas é isso mesmo que acontece quando fechamos uma curva.

Pelo teorema de Stokes aqui, a nossa superfície é o interior dessa curva aí, é meio difícil imaginar, mas como a curva é fechada, ela tem uma superfície que podemos usar o teorema, beleza?

Bom, vamos pros cálculos.

Passo 3

De acordo com o Teorema de Stokes:

∮ C 2   F → . d r = ∬ S   r o t F → . n → d s

Vamos começar calculando o rotacional de F → .

F x , y , z = e x , 1 1 + y 2 , 1 1 + z

r o t F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z e x 1 1 + y 2 1 1 + z

r o t F → = 0,0 , 0

Show de bola! Então F → é um campo conservativo! Isso vai facilitar a nossa vida! :D

E a integral de linha de um campo conservativo sobre uma curva fechada é SEMPRE igual a zero.

Portanto:

∮ C 2   F → . d r = 0

Passo 4

∫ C 1 F → . d r = ∫ a b F x t ,   y t , z t . σ → ' t d t

Vamos começar parametrizando a nossa curva.

Nela, como podemos ver no gráfico, x e y permanecem constantes e somente z varia. Como temos que seguir o sentido da trajetória, os pontos inicial e final da curva são:

a = 1,0 , 2 π

b = 1,0 , 0

Então uma parametrização que parece boa é a seguinte:

x t = 1

y t = 0

z t = - t

σ → t = 1 ,   0 ,   - t

- 2 π ≤ t ≤ 0

Passo 5

Para montar a integral, precisamos saber quem é F x t ,   y t ,   z t e σ → ' t .

σ → t = 1 ,   0 ,   - t

F x , y , z = e x , 1 1 + y 2 , 1 1 + z

F x t ,   y t ,   z t = e 1 , 1 , 1 1 - t

σ ' → t = 0 ,   0 ,   - 1

Passo 6

Agora podemos montar a integral

∫ C 1 F → . d r = ∫ - 2 π 0 e 1 , 1 , 1 1 - t . 0 ,   0 ,   - 1 d t

= - ∫ - 2 π 0 1 1 - t d t

Voltando pra integral:

= ln ⁡ 1 - t - 2 π 0 = ln ⁡ | 1 | - ln ⁡ | 1 + 2 π |

= - ln ⁡ | 1 + 2 π |

Passo 7

∫ C F → . d r = ∮ C 2   F → . d r - ∫ C 1 F → . d r

= 0 - - ln ⁡ 1 + 2 π

= ln ⁡ 1 + 2 π

Resposta

ln ⁡ 1 + 2 π