Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

USP, Cálculo 3, P3 - 2016, Questão 2

Sejam F x , y , z = 2 y z , y 3 , x + cos z 4 e γ a interseção de z = 9 - x 2 - y 2 e y = 1 , percorrida de ( - 2 2 , 1,0 ) a ( 2 2 , 1,0 ) . Calcule

γ F . d r

Passo 1

Precisamos calcular uma integral de linha, né? Mas percebe que, mesmo que façamos uma parametrização fácil de γ , nosso campo F tem um termo de cos ( z 4 ) , com certeza não vai ser simples de integrar isso ai. Vamos então tentar aplicar o Teorema de Stokes, lembra como ele é?

S r o t F . n d S = S F . d r

Portanto, vamos precisar calcular o r o t ( F ) , achar os limites de S e, caso γ seja uma curva aberta, vamos ter que fechar com uma curva simples! Vamos verificar isso então, nosso esboço é assim:

Sendo que a curva que estamos interessados é a vermelha, que é aberta. Precisamos fechar com a reta azul, que vai de ( 2 2 , 1,0 ) a ( - 2 2 , 1,0 ) . Portanto, se chamarmos nossa curva azul de α , nosso Teorema de Stokes fica:

S r o t F . n d S = γ F . d r + α F . d r

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar então calculando nosso primeiro termo, para isso, vamos achar o r o t ( F ) , em seguida a normal n e por fim os limites de integração. Bastante coisa né? Vamos passo a passo então.

A fórmula do rotacional é essa aqui:

r o t F = F 3 y - F 2 z ,   F 1 z - F 3 x ,   F 2 x - F 1 y

Vamos fazer cada um com calma, nosso campo é esse aqui:

F x , y , z = 2 y z , y 3 , x + cos z 4

F 3 y = 0

F 2 z = 0

F 1 z = 2 y

F 3 x = 1

F 2 x = 0

F 1 y = 2 z

Com isso, nosso rotacional fica assim

r o t F = ( 0,2 y - 1 , - 2 z )

Nossa superfície S está inteira no plano y = 1 né? Então é bem simples fazer essa parametrização aqui:

x = u

y = 1

z = v

φ u , v = ( u , 1 , v )

Tendo a parametrização, nosso rotacional com os novos parâmetros fica:

r o t F = 0,2 - 1 , - 2 v = ( 0,1 , - 2 v )

Passo 3

Nossa normal é calculada pelo seguinte produto vetorial:

φ u × φ v

Onde

φ u = 1,0 , 0

φ v = 0,0 , 1

n = φ u × φ v = i j k 1 0 0 0 0 1 = ( 0,1 , 0 )

Passo 4

Para calcular os limites da nossa superfície vamos ver a nossa equação escrita com os novos parâmetros:

z = 9 - x 2 - y 2 v = 8 - u 2

- 2 2 u 2 2

0 v 8 - u 2

Passo 5

Juntando tudo isso na integral de superfície:

S r o t F . n d S = - 2 2 2 2 0 8 - u 2 0,1 , - 2 v . ( 0,1 , 0 ) d v d u

No nosso produto escalar quase tudo vai zerar! Nossa integral vai ficar assim então:

= - 2 2 2 2 0 8 - u 2 1 d v d u

Integrando em v :

- 2 2 2 2 8 - u 2

Integrando em u :

8 u - u 3 3 u = - 2 2 u = 2 2 = 16 2 - 16 2 3 - - 16 2 + 16 2 3

= 32 2 - 32 2 3 = 64 2 3

S r o t F n d S = 64 2 3

Passo 6

Falta agora só a gente calcular a integral de linha da reta que usamos para fechar a curva γ , né? Vamos ter que calcular isso aqui:

α F d r

Onde α é a reta que liga 2 2 , 1,0 a ( - 2 2 , 1,0 ) , é ao contrário mesmo! Nossa parametrização vai ficar assim:

z = 0

y = 1

x = t

- 2 2 t 2 2

α t = t , 1,0

α ' t = ( 1,0 , 0 )

Nosso campo escrito com essa nova parametrização fica assim:

F x , y , z = 2 y z , y 3 , x + cos z 4

F t = 2.1 . 0,1 3 , t + cos 0 = ( 0,1 , t + 1 )

Passo 7

Substituindo tudo na integral:

α F d r = - 2 2 2 2 0,1 , t + 1 . 1,0 , 0 d t = - 2 2 2 2 0 d t = 0

Passo 8

Para acabar com a questão, voltando para o nosso Teorema de Stokes, tínhamos que:

S r o t F . n d S = γ F . d r + α F . d r

Onde

α F . d r = 0

S r o t F . n d S = 64 2 3

Com isso, nossa resposta fica:

γ F . d r = 64 2 3

Resposta

64 2 3

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas