Exercícios Resolvidos de Demonstrações

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Enunciado

Considere a seguinte proposição:

S e   x - 3 > 4 ,   e n t ã o 1 x - 8 > 2

  1. Decida se a proposição é verdadeira ou falsa
  2. Enuncie a recíproca e decida se a mesma é verdadeira ou falsa;

Passo 1

a )

Vamos lá! Começar descobrindo o conjunto solução da hipótese e depois verificar se está contido no conjunto solução da tese! Repare que são duas inequações, vamos começar analisando a inequação da hipótese.

x - 3 > 4

Isso nos diz que

x - 3 > 4               o u             x - 3 < - 4

Ou seja

x > 4 + 3               o u             x < - 4 + 3

x > 7               o u             x < - 1

Concluímos, então, que o conjunto solução para a hipótese é x ∈ - ∞ , - 1 ∪ 7 , + ∞ .

E agora repare que o conjunto solução da tese não está explícito em forma de um intervalo. Isso significa que teremos que encontrar essa solução também. Vamos lá!

Passo 2

1 x - 8 > 2

Aqui não podemos multiplicar cruzado como fazemos com a igualdade, temos que achar a fração e analisar o seu sinal.

1 x - 8 - 2 > 0

1 - 2 x - 8 x - 8 > 0

1 - 2 x + 16 x - 8 > 0

- 2 x + 17 x - 8 > 0

Vamos analisar os sinais desses caras, para isso vamos usar o quadro de sinais

Como ele quer a parte positiva o intervalo que é o resultado dessa inequação vai ser

8 < x < 17 2

Passo 3

Com os dois conjuntos solução em mãos, basta analisarmos se a hipótese está contida na tese.

Podemos concluir que há valores de x na hipótese que NÃO pertencem ao conjunto solução da tese. Como por exemplo: x = - 2 . E portanto a proposição é FALSA!

Passo 4

b )

O enunciado da recíproca é simples! Basta invertermos os papéis de hipótese e tese:

S e 1 x - 8 > 2   ,   e n t ã o x - 3 > 4

E para dizermos se é verdadeira ou falsa, basta analisarmos se a hipótese está contida na tese, lembrando que agora trocamos os papéis de hipótese e tese!! Dessa vez temos que ver se 8 , 17 2 está contido em - ∞ , - 1 ∪ 7 , + ∞ , podemos perceber que TODO valor de 8 à 8,5 é maior que 7 , logo está contido em - ∞ , - 1 ∪ 7 , + ∞ e a recíproca é verdadeira

Resposta

  1. Falso
  2. Verdadeiro