Exercícios Resolvidos de Demonstrações

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Enunciado

Demonstre as seguintes proposições usando o método da redução ao absurdo:

( a ) Não existem soluções inteiras e positivas para y 2 - x 2 = 10 .

b Dados a , b e c números inteiros, mostre que se a não divide b c , então a não divide b .

Passo 1

Olááá, meu anjo! Está indo tudo bem?

Bom, vamos começar do início:

a   N ã o   e x i s t e m   s o l u ç õ e s   i n t e i r a s   e   p o s i t i v a s   p a r a   y 2 - x 2 = 10

Como vamos demonstrar por redução ao absurdo, a primeira coisa que temos que fazer é dizer que EXISTEM soluções inteiras e positivas para y 2 - x 2 = 10 e depois chegarmos à conclusão de que isso é um absurdo.

Vamos reescrever essa equação assim:

y 2 - x 2 = 10

y - x y + x = 10

Agora vamos pensar em números que multiplicados dão 10 :

1.10 = 10

- 1 - 10 = 10

2.5 = 10

- 2 - 5 = 10

Vamos testar cada caso!

Passo 2

Se:

y - x = 1 y + x = 10

Então:

y = 11 2 x = 9 2

O que contraria nossa hipótese, já que essas são soluções não inteiras.

Se:

y - x = - 1 y + x = - 10

Então:

y = - 11 2 x = - 9 2

O que contraria nossa hipótese, já que essas são soluções não inteiras e negativas.

Se:

y - x = 2 y + x = 5

Então:

y = 7 2 x = 3 2

O que contraria nossa hipótese, já que essas são soluções não inteiras.

Se:

y - x = - 2 y + x = - 5

Então:

y = - 7 2 x = - 3 2

O que contraria nossa hipótese, já que essas são soluções não inteiras e negativas.

Ou seja, todos os nossos testes foram reduzidos ao absurdo. Logo, não existem soluções inteiras e positivas para y 2 - x 2 = 10 , como queríamos demonstrar.

Passo 3

Dá uma olhada na próxima:

b   D a d o s   a , b   e   c   n ú m e r o s   i n t e i r o s ,   m o s t r e   q u e   s e   a   n ã o   d i v i d e   b c ,   e n t ã o   a   n ã o   d i v i d e   b

Bom, temos uma proposição composta do tipo:

p ⇒   q

Negando isso:

p   e   n ã o   q

Então vamos trabalhar com a seguinte proposição:

D a d o s   a , b   e   c   n ú m e r o   i n t e i r o s ,   a   n ã o   d i v i d e   b c   e   a   d i v i d e   b

Da frase “ a divide b ”, podemos escrever:

b = a k 1

Onde k 1 é número inteiro.

Se multiplicarmos por c em ambos os lados:

b c = a k 1 c

E vou escrever k 1 c = k 2 :

b c = a k 2

MAAAAAAAAAAAS, da frase “ a não divide b c ”, temos que NÃO CONSEGUIMOS ESCREVER:

b c = a k 2

Com k 2 número inteiro.

Portanto, isso é um absurdo.

Resposta

Demonstração por redução ao absurdo.