Exercícios Resolvidos de Demonstrações

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Enunciado

Demonstre as seguintes afirmações:

( a ) Se a divide b e a divide c , então a divide b + c .

b Se m e n são números pares, então m + n é par.

Passo 1

FALAAAAA AÍ! Bom, sem muita conversa, vamos demonstrar essas afirmações, começando do começo:

a   S e   a   d i v i d e   b   e   a   d i v i d e   c ,   e n t ã o   a   d i v i d e   b + c

Vou escolher o método da demonstração direta para fazer estes, ok?

Hipótese 1 : a divide b

Hipótese 2 : a divide c

Tese: a divide b + c

Vamos lá, olhando a hipótese 1 , temos que se a divide b , então podemos escrever o seguinte:

b = a k 1

Onde k 1 é um número inteiro.

Olhando a hipótese 2 , temos que se a divide c , então podemos escrever o seguinte:

c = a k 2

Onde k 2 é um número inteiro.

Legal, agora vamos focar no que queremos provar: a divide b + c . Então poderíamos escrever que queremos chegar no seguinte:

b + c = a k 3

Onde k 3 é um número inteiro.

Passo 2

Show, dadas as relações que temos das hipóteses 1 e 2 :

b = a k 1

c = a k 2

Somando essas duas equações:

b + c = a k 1 + a k 2

Colocando o a em evidência:

b + c = a ( k 1 + k 2 )

Chamando k 1 + k 2 = k 3 :

b + c = a k 3

Onde k 3 é um número inteiro. Como queríamos demonstrar.

Passo 3

A próxima diz o seguinte:

b   S e   m   e   n   s ã o   n ú m e r o s   p a r e s ,   e n t ã o   m + n   é   p a r

Bora resolver essa questão linda. Dá uma olhada no que temos:

Hipótese 1 : m é par

Hipótese 2 : n é par

Tese: m + n é par

Baseado na hipótese 1 , temos que se m é par, podemos escrever que:

m = 2 k 1

Onde k 1 é um número inteiro.

Baseado na hipótese 2 , temos que se n é par, podemos escrever que:

n = 2 k 2

Onde k 2 é um número inteiro.

Agora, vamos focar no que queremos chegar, na tese. Ao dizermos que m + n é par, podemos escrever:

m + n = 2 k 3

Onde k 3 é um número inteiro. É nisso que queremos chegar, foca!!!

Passo 4

Dadas as relações que chegamos através das hipóteses 1 e 2 :

m = 2 k 1

n = 2 k 2

Somando as duas equações:

m + n = 2 k 1 + 2 k 2

Colocando 2 em evidência:

m + n = 2 k 1 + k 2

E tomando k 1 + k 2 = k 3 :

m + n = 2 k 3

Onde k 3 é um número inteiro. Como queríamos demonstrar.

Resposta

Método de demonstração direta.