Exercícios Resolvidos de Demonstrações

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Enunciado

Passo 1

Vamos lá. Uma função dentro do cosseno parece um pouco estranho, né!?

Então vamos chamar essa função de y , assim

arcsen ⁡ x = y

E então ficamos com

cos ⁡ y = 1 - x 2

Passo 2

Ótimo, agora que já deixamos nossa função com um acara um pouco mais agradável (sem função dentro de função), vamos voltar a primeira relação que achamos

arcsen ⁡ x = y

Se isso é verdade, então

x = sen ⁡ y

A gente não é Ana Maria Braga, mas vamos reservar isso um pouquinho, pra usar depois.

Passo 3

Adivinha o que vamos usar agora?

Aquilo que a gente quase sempre usa quando temos seno e cosseno.

Isso mesmo, a relação fundamental da trigonimetria!!

sen 2 ⁡ y + cos 2 ⁡ y = 1

Isolando o cosseno, ficamos com cos ⁡ y = ± 1 - sen 2 ⁡ y

Passo 4

E aí, já tá vendo onde eu quero chegar?

No passo 2 a gente achou que

x = sen ⁡ y

Substituindo isso na equação do cosseno que acabamos de achar, temos que

cos ⁡ y = ± 1 - x 2

E, se considerarmos

- π 2 ≤ y ≤ π 2

Temos que nesse intervalo, cos ⁡ y ≥ 0 , então

cos ⁡ y = 1 - x 2

E quem era y mesmo?

y = arcsen ⁡ x

Assim, provamos que

cos ⁡ arcsen ⁡ x = 1 - x 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)