Exercícios Resolvidos de Demonstrações

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Enunciado

(b) Mostre que a conclusão não segue se omitimos a hipótese ( i )   f ( a )   =   g ( a )   =   h ( a ) .

Passo 1

Vamos mostrar que a conclusão não segue se omitirmos a hipótese ( i )   f ( a )   =   g ( a )   =   h ( a ) . Considere as funções:

f(x) = 0 se x = 0

g(x) = 0 se x = 0

h(x) = 0 se x = 0

Passo 2

Agora, observe que f ( x )   < =   g ( x )   < =   h ( x ) para todo x, já que 0   < =   x   < =   2 x para x   > =   0 .

Além disso, temos f ' ( 0 )   =   0 ,   g ' ( 0 )   =   1 ,   e   h ' ( 0 )   =   2 .

Portanto, a hipótese (ii) é satisfeita. No entanto, a hipótese (i) não é satisfeita, já que f(0) = 1 e g(0) = 0 são diferentes de h(0) = 0.

Nesse caso, f(x) não é diferenciável em x = 0 (a derivada não existe em x = 0), mas tanto g(x) quanto h(x) são diferenciáveis em x = 0, com g ' ( 0 )   =   1   e   h ' ( 0 )   =   2 .

Portanto, a conclusão de que f'(a) = g'(a) = h'(a) não segue se omitirmos a hipótese f ( a )   =   g ( a )   =   h ( a ) .

Resposta

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