Exercícios Resolvidos de Demonstrações

Demonstre as seguintes proposições usando o método da redução ao absurdo:

Equation Não existem soluções inteiras e positivas para Equation .

Equation Dados Equation e Equation números inteiros, mostre que se Equation não divide Equation , então Equation não divide Equation .

Passo 1

Olááá, meu anjo! Está indo tudo bem?

Bom, vamos começar do início:

Equation

Como vamos demonstrar por redução ao absurdo, a primeira coisa que temos que fazer é dizer que EXISTEM soluções inteiras e positivas para Equation e depois chegarmos à conclusão de que isso é um absurdo.

Vamos reescrever essa equação assim:

Equation

Equation

Agora vamos pensar em números que multiplicados dão Equation :

Equation

Equation

Equation

Equation

Vamos testar cada caso!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Se:

Equation

Então:

Equation

O que contraria nossa hipótese, já que essas são soluções não inteiras.

Se:

Equation

Então:

Equation

O que contraria nossa hipótese, já que essas são soluções não inteiras e negativas.

Se:

Equation

Então:

Equation

O que contraria nossa hipótese, já que essas são soluções não inteiras.

Se:

Equation

Então:

Equation

O que contraria nossa hipótese, já que essas são soluções não inteiras e negativas.

Ou seja, todos os nossos testes foram reduzidos ao absurdo. Logo, não existem soluções inteiras e positivas para Equation , como queríamos demonstrar.

Equation

Passo 3

Dá uma olhada na próxima:

Equation

Bom, temos uma proposição composta do tipo:

Equation

Negando isso:

Equation

Então vamos trabalhar com a seguinte proposição:

Equation

Da frase “ Equation divide Equation ”, podemos escrever:

Equation

Onde Equation é número inteiro.

Se multiplicarmos por Equation em ambos os lados:

Equation

E vou escrever Equation :

Equation

MAAAAAAAAAAAS, da frase “ Equation não divide Equation ”, temos que NÃO CONSEGUIMOS ESCREVER:

Equation

Com Equation número inteiro.

Portanto, isso é um absurdo.

Equation

Resposta

Demonstração por redução ao absurdo.

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