Exercícios Resolvidos de Demonstrações

Mostre que um número inteiro de Equation dígitos é divisível por Equation se a soma dos seus dígitos for divisível por Equation .

Passo 1

Meu amooooor, esse tipo de questão é muito interessante e pode cair na sua prova, por exemplo, falando sobre a regrinha dos números divisíveis por Equation , sei lá. Então, pega a visão!

Para começar, um número inteiro de Equation dígitos pode ser representado da seguinte forma:

Equation

Concorda comigo? Eu não sei quais são os dígitos, então coloco uma letra ao lado da outra.

Bom, para ser divisível por Equation , é necessário que eu consiga escrever esse número da seguinte forma:

Equation

Onde Equation é um número inteiro. LEMBRE-SE: Equation NÃO é uma multiplicação dessas letras, mas sim um nome!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos lá, finalmente colocar a mão na massa. Concorda comigo que podemos escrever:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

É assim que escreveremos nosso número:

Equation

Agora olha o truque!!!

Equation

Equation

Equation

Cara, a gente já tem uma parcela de Equation que é divisível por Equation . Porém, aquela parte:

Equation

A gente não sabe se é. Se ela for, significa que:

Equation

E chamando Equation :

Equation

E finalmente:

Equation

PORÉM, se Equation NÃO puder ser escrito como Equation , ou seja, se a soma dos algarismos não for divisível por Equation , então o número Equation não é divisível por Equation .

Logo, a ÚNICA forma de Equation ser divisível por Equation é se a soma dos algarismos também for, como queríamos demonstrar.

Equation

Resposta

Demonstração pelo método direto.

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