Exercícios Resolvidos de Demonstrações

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Enunciado

Mostre que um número inteiro de 4 dígitos é divisível por 3 se a soma dos seus dígitos for divisível por 3 .

Passo 1

Meu amooooor, esse tipo de questão é muito interessante e pode cair na sua prova, por exemplo, falando sobre a regrinha dos números divisíveis por 4 , sei lá. Então, pega a visão!

Para começar, um número inteiro de 4 dígitos pode ser representado da seguinte forma:

a b c d

Concorda comigo? Eu não sei quais são os dígitos, então coloco uma letra ao lado da outra.

Bom, para ser divisível por 3 , é necessário que eu consiga escrever esse número da seguinte forma:

a b c d = 3 k

Onde k é um número inteiro. LEMBRE-SE: a b c d NÃO é uma multiplicação dessas letras, mas sim um nome!

Passo 2

Vamos lá, finalmente colocar a mão na massa. Concorda comigo que podemos escrever:

12 = 1 × 2 + 10 × 1

123 = 1 × 3 + 10 × 2 + 100 × 1

a b c = 1 × c + 10 × b + 100 × a

1234 = 1 × 4 + 10 × 3 + 100 × 2 + 1000 × 1

a b c d = 1 × d + 10 × c + 100 × b + 1000 × a

É assim que escreveremos nosso número:

a b c d = 1 . d + 10 . c + 100 . b + 1000 . a

Agora olha o truque!!!

a b c d = d + c + 9 c + b + 99 b + a + 999 a

a b c d = a + b + c + d + 9 c + 99 b + 999 a

a b c d = a + b + c + d + 3 3 c + 33 b + 333 a

Cara, a gente já tem uma parcela de a b c d que é divisível por 3 . Porém, aquela parte:

a + b + c + d

A gente não sabe se é. Se ela for, significa que:

a + b + c + d = 3 k 1

E chamando 3 c + 33 b + 333 a = 3 k 2 :

a b c d = 3 k 1 + 3 k 2

E finalmente:

a b c d = 3 k 1 + k 2 → a b c d = 3 k 3

PORÉM, se a + b + c + d NÃO puder ser escrito como 3 k 1 , ou seja, se a soma dos algarismos não for divisível por 3 , então o número a b c d não é divisível por 3 .

Logo, a ÚNICA forma de a b c d ser divisível por 3 é se a soma dos algarismos também for, como queríamos demonstrar.

Resposta

Demonstração pelo método direto.