Exercícios Resolvidos de Demonstrações

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Enunciado

Prove cada uma das seguintes proposições pelo método de contraposição:

( a ) Se x e y são dois números inteiros cujo produto é par, então pelo menos um dos dois deve ser par.

( b ) Se a e b são números reais tais que o produto a b é um número irracional, então ou a ou b deve ser um número irracional.

Passo 1

Oiiiii aluno mais engajado do mundo! Bora demonstrar essas afirmações pelo método de contraposição. Você lembra como é?

É assim, você se depara com uma proposição da forma:

p ⇒   q

E o que provaremos é algo que é equivalente a ela, ou seja:

n ã o   q ⇒   n ã o   p

Bora ver o primeiro item:

a   S e   x   e   y   s ã o   d o i s   n ú m e r o s   i n t e i r o s   c u j o   p r o d u t o   é   p a r ,  

e n t ã o   p e l o   m e n o s   u m   d o s   d o i s   d e v e   s e r   p a r

A contrapositiva dessa proposição é:

S e   x   e   y   s ã o   i n t e i r o s   í m p a r e s ,   e n t ã o   o   p r o d u t o   é   í m p a r

Lembrando que a negação de “pelo menos um dos dois deve ser par” é “nenhum dos dois é par”, ou seja, “os dois são ímpares”.

Então vamos lá, a nossa hipótese é que x e y são inteiros ímpares, isto é, podemos escrevê-los da forma:

x = 2 k 1 + 1

y = 2 k 2 + 1

Onde k 1 e k 2 números são inteiros.

Passo 2

Queremos mostrar que o produto é ímpar, então vamos multiplicar essas duas equações ok?

x y = 2 k 1 + 1 2 k 2 + 1

Realizando as operações:

x y = 4 k 1 k 2 + 2 k 1 + 2 k 2 + 1

x y = 2 2 k 1 k 2 + k 1 + k 2 + 1

Chamando 2 k 1 k 2 + k 1 + k 2 = k 3 :

x y = 2 k 3 + 1

Onde k 3 é um número inteiro.

Portanto, o produto é um número ímpar, como queríamos demonstrar.

Passo 3

Se liga nessa próxima:

b   S e   a   e   b   s ã o   n ú m e r o s   r e a i s   t a i s   q u e   o   p r o d u t o   a b   é   u m   n ú m e r o   i r r a c i o n a l ,

e n t ã o   o u   a   o u   b   d e v e   s e r   u m   n ú m e r o   i r r a c i o n a l .

Como fica a contrapositiva dessa proposição? Dá uma olhada:

S e   a   e   b   s ã o   n ú m e r o s   r a c i o n a i s ,   e n t ã o   o   p r o d u t o   é   u m   n ú m e r o   r a c i o n a l

Bom, da hipótese podemos escrever que:

a = p q

b = x y

Onde p ,   x ,   y e q são números inteiros, tais que y ≠ 0 e q ≠ 0

Queremos que o produto a b seja racional, então vamos multiplicar essas duas equações:

a b = p . x q . y

Como são números inteiros, chamaremos p . x = p 1 e q . y = q 1 , onde ambos são inteiros:

a b = p 1 q 1

Portanto, o produto é racional, como queríamos demonstrar.

Resposta

Demonstração pelo método de contraposição.