Exercícios Resolvidos de Demonstrações

Prove cada uma das seguintes proposições pelo método de contraposição:

Equation Se Equation e Equation são dois números inteiros cujo produto é par, então pelo menos um dos dois deve ser par.

Equation Se Equation e Equation são números reais tais que o produto Equation é um número irracional, então ou Equation ou Equation deve ser um número irracional.

Passo 1

Oiiiii aluno mais engajado do mundo! Bora demonstrar essas afirmações pelo método de contraposição. Você lembra como é?

É assim, você se depara com uma proposição da forma:

Equation

E o que provaremos é algo que é equivalente a ela, ou seja:

Equation

Bora ver o primeiro item:

Equation

Equation

A contrapositiva dessa proposição é:

Equation

Lembrando que a negação de “pelo menos um dos dois deve ser par” é “nenhum dos dois é par”, ou seja, “os dois são ímpares”.

Então vamos lá, a nossa hipótese é que Equation e Equation são inteiros ímpares, isto é, podemos escrevê-los da forma:

Equation

Equation

Onde Equation e Equation números são inteiros.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Queremos mostrar que o produto é ímpar, então vamos multiplicar essas duas equações ok?

Equation

Realizando as operações:

Equation

Equation

Chamando Equation :

Equation

Onde Equation é um número inteiro.

Portanto, o produto é um número ímpar, como queríamos demonstrar.

Equation

Passo 3

Se liga nessa próxima:

Equation

Equation

Como fica a contrapositiva dessa proposição? Dá uma olhada:

Equation

Bom, da hipótese podemos escrever que:

Equation

Equation

Onde Equation e Equation são números inteiros, tais que Equation e Equation

Queremos que o produto Equation seja racional, então vamos multiplicar essas duas equações:

Equation

Como são números inteiros, chamaremos Equation e Equation , onde ambos são inteiros:

Equation

Portanto, o produto é racional, como queríamos demonstrar.

Equation

Resposta

Demonstração pelo método de contraposição.

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