Exercícios Resolvidos de Densidade

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Enunciado

Devido à ação da gravidade, a densidade do ar não é constante, e quanto mais alto você vai, em relação ao nível do mar, menos denso vai ficando a atmosfera.

Suponha que a massa de ar, em relação ao nível do mar, vai decaindo exponencialmente com a altura da forma m h = m 0 e -   h h 0 , onde m 0 e h 0 são constantes.

  1. Como que a densidade varia com a altura?
  2. Em qual altura a densidade cai para metade do valor ao nível do mar, em função das constantes m 0 e h 0 ?

Passo 1

Temos agora um caso em que a massa não é constante! Para isso temos que usar a forma diferencial da densidade:

ρ = d m d V

Mas como V = A b a s e h , ea A b a s e é constante, podemos dizer que

d V = A   d h

Reescrevendo a densidade

ρ = 1 A d m d h

Só que, repara uma coisa: a derivada d m / d h é negativa por que conforme vamos subindo na atmosfera a quantidade de massa diminui. Segundo a equação que escrevemos acima, isso significaria que a densidade seria negativa! Como isso não faz sentido a gente pode meter um módulo aqui!

ρ = 1 A d m d h  

Escrito dessa forma, o que estamos dizendo é que a densidade é a razão de quanto de massa d m tem em um volumezinho A d h , e não a taxa de variação da massa em relação a altura h (que é a derivada).

Passo 2

  1. Vamos jogar a função dentro da densidade

ρ h = 1 A d d h m 0   e - h h 0

Derivando,

ρ h = m 0 A h 0 e -   h h 0

E esse é a função! =)

Passo 3

b)

Queremos o ponto em que a densidade cai pela metade do valor ao nível do mar.

No nível do mar, temos h = 0 ,

ρ h = 0 = m 0 A h 0

Então, queremos a altura em que a densidade é

ρ = m 0 2 A h 0

Jogando na equação:

m 0 2 A h 0 = m 0 A h 0 e -   h h 0

Cortando

1 2 = e - h h 0

Aplicando log dos dois lados

ln ⁡ 1 2 = - h h 0

Usando que l n ⁡ ( 1 / 2 ) = - l n ⁡ ( 2 ) , e isolando o h, temos:

h = h 0   l n ⁡ ( 2 )

Nessa altura a densidade cai pela metade! =)

Resposta

  1. ρ h = m 0 A h 0 e -   h h 0
  2. h = h 0   l n ⁡ ( 2 )

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