Exercícios Resolvidos de Densidade

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Enunciado

Um peixe se mantém na mesma profundidade na água doce ajustando a quantidade de ar em ossos porosos ou em bolsas de ar para tornar sua massa específica média igual à da água. Suponha que, com as bolsas de ar vazias, um peixe tem uma massa específica de 1,08   g / c m 3 . Para que fração de seu volume expandido o peixe deve inflar as bolsas de ar para tornar sua massa específica igual à da água?

Passo 1

Para resolver esse problema a gente tem que entender que ao inflar as bolsas de ar a massa específica do peixe diminui. O problema quer saber quanto de ar o peixe precisa para diminuir sua densidade de 1,08   g / c m 3 até 1,00   g / c m 3 (que é a densidade da água doce, esse valor a gente tem que saber de cabeça beleza?).

Perceba que ter a mesma densidade da água significa que o peixe não flutua nem afunda, exatamente o que queremos!

Passo 2

O peixe tem uma densidade ρ p e i x e = 1,08   g / c m 3 quando suas bolsas de ar estão vazias e seu volume é V p e i x e , nessa situação. Ou seja:

ρ p e i x e = m p e i x e V p e i x e = 1,08

m p e i x e = 1,08 × V p e i x e

Quando ele enche suas bolsas de ar, temos que sua densidade agora é igual a da água ( ρ i n f l a d o = ρ á g u a = 1   g / c m 3 ) para não boiar nem afundar.

Além disso, seu novo volume passa a ser o volume antigo, V p e i x e , somado ao volume adicionado às suas bolsas de ar, V i n f l a d o :

V = V p e i x e + V i n f l a d o

Com isso, podemos escrever a densidade do peixe já inflado:

ρ i n f l a d o = m p e i x e V

ρ i n f l a d o = m p e i x e V p e i x e + V i n f l a d o = 1

m p e i x e = V p e i x e + V i n f l a d o

Passo 3

O problema quer saber a relação entre o volume que o peixe se inflou e o volume total quando está inflado, ou seja:

V i n f l a d o V p e i x e + V i n f l a d o

Para começar, podemos igualar as massas do peixe encontradas no passo anterior e encontrar quanto vale V i n f l a d o , ficando com:

m p e i x e = 1,08 × V p e i x e

m p e i x e = V p e i x e + V i n f l a d o

A massa do peixe não muda né, então temos:

1,08 ∙ V p e i x e = V p e i x e + V i n f l a d o

V i n f l a d o = 0,08 ∙ V p e i x e

Passo 4

Show!! Agora conseguimos substituir o valor do volume que foi inflado e achar o quanto ele vale em relação ao volume total do peixe depois de inflar:

V i n f l a d o V p e i x e + V i n f l a d o = 0,08 V p e i x e V p e i x e + 0,08 V p e i x e

V i n f l a d o V p e i x e + V i n f l a d o = 0,08 V p e i x e 1 , 08 V p e i x e

V i n f l a d o V p e i x e + V i n f l a d o ≈ 0,074

O que nos dá: 7,4 %

Resposta

O peixe deve inflar as bolsas de ar em 7,4 % de seu volume expandido.

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