Exercícios Resolvidos de Determinantes e Transformações Lineares

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Enunciado

Prove que o determinante de T β ← β é igual ao determinante de T α ← α , qualquer que sejam α e β .

Passo 1

Bom, primeiro passo a fazer é tentar equacionar, já que não tem nenhuma relação que nos ajude sem isso. Lembra da fórmula abaixo?

T β ← β = I d β ← α T α ← α I d α ← β

Agora é só aplicar o determinante dos dois lados:

det ⁡ T β ← β = det ⁡ ( I d β ← α T α ← α I d α ← β )

Passo 2

Lembre-se que det ⁡ A ⋅ B = det ⁡ A ⋅ d e t ⁡ ( B ) . Então aplicando na fórmula acima:

det ⁡ T β ← β = det ⁡ ( I d β ← α T α ← α ) ⋅ det ⁡ I d α ← β ⇒

det ⁡ T β ← β = det ⁡ I d β ← α ⋅ det ⁡ T α ← α ⋅ det ⁡ I d α ← β

Agora é só lembrar que

I d β ← α = I d α ← β - 1 ⇒ det ⁡ I d α ← β - 1 = det ⁡ I d β ← α = 1 det ⁡ I d α ← β

Assim aplicando isso na fórmula:

det ⁡ T β ← β = 1 det ⁡ I d α ← β ⋅ det ⁡ T α ← α ⋅ det ⁡ I d α ← β

Passo 3

-

Agora podemos cancelar os termos!

det ⁡ T β ← β = det ⁡ T α ← α ⋅ 1 det ⁡ I d α ← β ⋅ det ⁡ I d α ← β ⇒

det ⁡ T β ← β = det ⁡ T α ← α ⋅ 1 ⇒

det ⁡ T β ← β = det ⁡ T α ← α

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)