Exercícios Resolvidos de Determinantes e Transformações Lineares

PUCRIO-P3-2014.1-2b

Verdadeiro ou Falso? Forneça uma justificativa para sua resposta.

Seja T : R 4 ⟶ R 4 uma projeção sobre a reta r ≔ 11 , - 1,7 , 4 = s p a n 11 , - 1,7 , 4 . Sejam T β a matriz de T numa base β de R 4 e P ∈ M 4 × 4 uma matriz invertível. Então, det ⁡ P T β P - 1 = 0 .

Passo 1

Vamos ver. O determinante det ⁡ P T β P - 1 = 0 , pode ser escrito através de usas propriedades como:

det ⁡ P ⋅ det ⁡ T β ⋅ det ⁡ P - 1 = det ⁡ P ⋅ det ⁡ T β ⋅ 1 det ⁡ P = det ⁡ T β

Assim, basta descobrir o determinante de T β . Também podemos usar o fato de que o determinante de matrizes em base diferentes são os mesmos!

Assim, vamos escolher uma outra base que nos agrada (e que realmente saibamos de fato), para ficar mais fácil de calcular.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, agora existem alguns jeitos de calcular, um deles é achar a matriz no braço com uma base formada pela reta r e seu complemento ortogonal, mas isso vai dar muito trabalho até porque estamos no R 4 , então vamos nos deparar com 3 sistemas de 3 variáveis.

Uma solução mais prática é lembrar que o determinante dá zero quando possui uma linha/colunas de zeros (Use o Teorema de Laplace!).

Agora repare que se escolhermos a base formada pela reta e seu complemento ortogonal, quando montarmos a matriz T β vamos ter que calcular T dos vetores do complemento ortogonal (lembre-se de como calcular T β ), e sabemos que a imagem de um vetor de H ⊥ em uma projeção sobre H é zero!

Portanto, sempre teremos uma coluna ou linhas com zero, e assim o determinante é zero também!

Verdadeiro.

Resposta

Verdadeiro.

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