Exercícios Resolvidos de Determinantes e Transformações Lineares

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Enunciado

Seja T : R 3 → R 3 a transformação T x , y , z = ( 2 x + y + z , 1 2 y + z , z ) , e seja Q ∈ R 3 um paralelepípedo. O volume do paralelepípedo transformado T(Q), em relação ao volume de Q:

(a) É o mesmo.

(b) É maior.

(c) É menor.

(d) Pode ser maior ou menor, dependendo de Q.

Passo 1

Pra resolver a questão vamos usar o seguinte teorema:

Se a gente tem uma transformação linear T : R 3 → R 3 e Ω um conjunto qualquer de R 3 , então o volume de T ( Ω ) é igual ao volume de Ω vezes | d e t ⁡ ( A ) | , onde A é a matriz que representa a transformação T.

Vamos trabalhar com a base canônica do R 3 pra facilitar.

Passo 2

O enunciado nos deu que:

T x , y , z = 2 x + y + z , 1 2 y + z , z

Para acharmos a matriz A que representa essa TL na base canônica, basta a gente “decompor” essa expressão dessa forma:

Repara que na primeira coluna temos os coeficientes do x, na segunda os coeficientes do y e na terceira os coeficientes do z.

A matriz que A é a matriz do lado esquerdo dessa expressão, então agora é só achar o determinante dela.

Só que A é uma matriz diagonal superior, logo seu determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal, ou seja:

det ⁡ A = 2 × 1 2 × 1 = 1

Usando o resultado do teorema que vimos no passo 1:

v o l T Q = v o l Q det ⁡ A

v o l T Q = v o l ( Q )

Então o volume dos dois é o mesmo.

Resposta

(a) É o mesmo.