1.

Para cada k real, considere a transformação T : R 3 ⟶ R 3 dada por:

T x , y , z = k x + 2 y ,   2 x + k y + 2 z ,   2 y + k z

Calcule em função de k , o determinante de T .

Dica: escolha uma base conveniente β de R 3 e determine T β .

Resolução
2.

Prove que o determinante de T β ← β é igual ao determinante de T α ← α , qualquer que sejam α e β .

Resolução
3.

Seja Q o cubo no R 3 gerado pelos vetores da base canônica (o volume de Q é 1 ). Seja T : R 3 ⟶ R 3 a transformação linear associada a uma matriz P tal que P T P = 9 I , onde I é a matriz identidade 3 × 3 . Seja T ( Q ) a imagem de Q por T . O volume de T ( Q ) é:

a   9

b   3

c   27

d   1

Resolução
4.

Verdadeiro ou Falso? Forneça uma justificativa para sua resposta.

Seja T : R 4 ⟶ R 4 uma projeção sobre a reta r ≔ 11 , - 1,7 , 4 = s p a n 11 , - 1,7 , 4 . Sejam T β a matriz de T numa base β de R 4 e P ∈ M 4 × 4 uma matriz invertível. Então, det ⁡ P T β P - 1 = 0 .

Resolução
5.

Para cada k real, considere a transformação T : R 3 ⟶ R 3 dada por:

T x , y , z = k x + 2 y ,   2 x + k y + 2 z ,   2 y + k z

a   Calcule em função de k , o determinante de T .

Dica: escolha uma base conveniente β de R 3 e determine T β .

Resolução
6.

Seja Q o cubo no R 3 gerado pelos vetores da base canônica (o volume de Q é 1 ). Seja T : R 3 ⟶ R 3 a transformação linear associada a uma matriz P tal que P T P = 9 I , onde I é a matriz identidade 3 × 3 . Seja T ( Q ) a imagem de Q por T . O volume de T ( Q ) é:

a   9

b   3

c   27

d   1

Resolução
7.

Seja T : R 3 → R 3 a transformação T x , y , z = ( 2 x + y + z , 1 2 y + z , z ) , e seja Q ∈ R 3 um paralelepípedo. O volume do paralelepípedo transformado T(Q), em relação ao volume de Q:

(a) É o mesmo.

(b) É maior.

(c) É menor.

(d) Pode ser maior ou menor, dependendo de Q.

Resolução
8.

Seja P o paralelogramo determinado por dois vetores linearmente independentes, v → 1 e v → 2 , e T uma transformação linear de R 2 em R 2 :

  1. Se det ⁡ T = 0 , então a área de T P é nula.
  2. Se det ⁡ T < 0 , então det ⁡ T v → 1 T v → 2 < 0

a   I é falsa e I I é falsa

b   I é verdadeira e I I é falsa

c   I é falsa e I I é verdadeira

d   I é verdadeira e I I é verdadeira

Resolução

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