Exercícios Resolvidos de Determinantes e Transformações Lineares

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Enunciado

05) Seja A ∈ M 2 ( R ) . Sabendo que X t = ( e 2 t - e - t ,   e 2 t + e - t ) é solução do sistema de equações diferenciais X ' t = A X ( t ) , pode-se afirmar corretamente que o determinante de A é igual a:

A) - 2

B) 2

C) 0

D) - 1

E) 1

Passo 1

Eaí galera, tudo bom com vocês?

Nessa questão recebemos as informações na ordem diferente do natural.

Temos um sistema de equações diferenciais, cuja solução nos é dada. Também é falado que a matriz A associada a esse sistema, é quadrada 2 × 2 .

O objetivo é que determinemos o d e t ⁡ ( A ) .

Beleza, mas vocês lembram de como é escrita a solução de um sistema de equações diferenciais?

Bora dar uma revisada hahaha!

As soluções de X ' t = A X ( t ) são da forma geral:

X t = C 1 e α t u 1 + C 2 e β t u 2

Onde α ,   β são os autovalores de A associados a u 1   e u 2 , respectivamente, que são autovetores de A. C 1 e C 2 são duas constantes Reais.

Massa!

Passo 2

Agora que já sabemos como se escrever a solução na forma geral, vamos analisar a solução que nos foi dada e tentar deixá-la no formato apresentado pela teoria. Assim, conseguiremos identificar u 1 , u 2 ,   α e β .

X t = ( e 2 t - e - t ,   e 2 t + e - t )

e 2 t - e - t ,   e 2 t + e - t = e 2 t 1,1 + e - t ( - 1,1 )

Muito bom! Considerando C 1 = C 2 = 1 , temos que:

u 1 = ( 1,1 ) é um autovetor de A, associado ao autovalor λ 1 = 2 .

u 2 = ( - 1,1 ) é um autovetor de A, associado ao autovalor λ 2 =   - 1 .

Passo 3

Agora que já identificamos os autovetores e autovalores, podemos usar que:

A = P D P - 1

Onde P é a matriz formada pelos autovetores em cada coluna e D a matriz diagonal formada pelos autovalores de A. Logo:

P = 1 - 1 1 1

∴ det ⁡ P = 2

⇒ P - 1 = 1 / 2 1 / 2 - 1 / 2 1 / 2  

Por último:

D =   2 0 0 - 1

Portanto:

A =   1 - 1 1 1 ⋅ 2 0 0 - 1 ⋅ 1 / 2 1 / 2 - 1 / 2 1 / 2  

O determinante de A será o determinante da matriz diagonal. Logo:

det ⁡ A = - 2

Resposta

Letra A: - 2 .