Exercícios Resolvidos de Determinantes e Transformações Lineares

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Enunciado

Seja Q o cubo no R 3 gerado pelos vetores da base canônica (o volume de Q é 1 ). Seja T : R 3 ⟶ R 3 a transformação linear associada a uma matriz P tal que P T P = 9 I , onde I é a matriz identidade 3 × 3 . Seja T ( Q ) a imagem de Q por T . O volume de T ( Q ) é:

a   9

b   3

c   27

d   1

Passo 1

Podemos interpretar o volume formado pelos vetores da coluna de uma matriz, como o determinante dessa matriz. Assim, vamos chamar a matriz que forma esse cubo de A , tal que:

A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Ok, agora vamos achar o determinante da transformação (ou matriz P ) para saber o quanto o cubo aumenta. A única informação que temos é:

P T P = 9 I

E se aplicarmos o determinante dos dois lados:

det ⁡ P T P = det ⁡ 9 I ⇒

det ⁡ P T det ⁡ P = d e t ⁡ ( 9 I )

Passo 2

Agora muito cuidado ao calcular esses determinantes! Sabemos que o determinante da transposta é igual ao determinante da matriz original. E também que quando multiplicamos uma linha por um escalar, o determinante fica multiplicado por esse escalar. No caso a matriz I é multiplicado INTEIRAMENTE por 9 ou seja em todas as suas três linhas. Então, o determinante é multiplicado três vez por 9 .

det ⁡ P 2 = 9 × 9 × 9 = 81 × 9 ∴

det ⁡ P = 81 × 9 ∴

det ⁡ P = 9 × 3 = 27

Assim sabemos que a T L amplia 27 vezes o volume do cubo e como o volume original era 1 , então o volume de T ( Q ) é 27 .

Resposta

Letra ( c )