Exercícios Resolvidos de Determinantes e Transformações Lineares

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Enunciado

Seja P o paralelogramo determinado por dois vetores linearmente independentes, v → 1 e v → 2 , e T uma transformação linear de R 2 em R 2 :

  1. Se det ⁡ T = 0 , então a área de T P é nula.
  2. Se det ⁡ T < 0 , então det ⁡ T v → 1 T v → 2 < 0

a   I é falsa e I I é falsa

b   I é verdadeira e I I é falsa

c   I é falsa e I I é verdadeira

d   I é verdadeira e I I é verdadeira

Passo 1

Afirmativa I :

Quando aplicamos uma transformação T em um paralelogramo, sua área é simplesmente multiplicada pelo módulo do det ⁡ T ! Logo, se det ⁡ T = 0 , a área de T P será de fato nula.

Afirmativa I I :

Repare que a matriz T v → 1 T v → 2 é simplesmente o produto da matriz que representa T pela matriz com v → 1 e v → 2 nas colunas:

↑ ↑ T v → 1 T v → 2 ↓ ↓ = T ↑ ↑ v → 1 v → 2 ↓ ↓

Bom, sabemos que o determinante do produto de duas matrizes é o produto dos determinantes. E sabemos que det ⁡ T < 0 , mas não sabemos nada sobre o determinante da matriz ↑ ↑ v → 1 v → 2 ↓ ↓ .

Logo, não podemos afirmar nada sobre det ⁡ T v → 1 T v → 2 .

Resposta

Letra ( b )